Działania na potęgach i pierwiastkach

Witam! Dzisiaj podsumuję podstawowe wzory wykorzystywane podczas wykonywania działań na potęgach i pierwiastkach. Z pewnością przyda się to Wam podczas powtórzenia przed sprawdzianem w klasie ósmej (dział “Działania na liczbach”), ale również podczas przygotowania do egzaminu ósmoklasisty. Zapraszam!

Działania na potęgach

Odnośnie iloczynu potęg mamy następujące wzory:

a^2 \cdot b^2 = (a\cdot b)^2

a^3 \cdot b^3 = (a\cdot b)^3

Powyższe wzory oznaczają, że jeśli chcemy wymnożyć przez siebie potęgi dwóch liczb o tym samym wykładniku, to możemy najpierw wymnożyć przez siebie podstawy potęg a następnie otrzymany wynik podnieść do odpowiedniej potęgi. Na przykład:

2^2 \cdot 5^2 = (2\cdot 5)^2 = 10^2 = 100

Jednak znacznie częściej będziemy stosować wzory w przeciwnej kolejności, czyli rozbijać podstawę potęgi na iloczyn dwóch liczb, potęgując oddzielnie każda z nich:

6^3 = (2\cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216

Podobnie działać będą wzory dla ilorazów:

a^2 : b^2 = (a : b)^2

a^3 : b^3 = (a : b)^3

Lub zapisując iloraz jako ułamek zwykły:

\frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2

\frac{a^3}{b^3} = ( \frac{a}{b} )^3

Należy pamiętać, że mnożenie zapisane za pomocą dwukropka “:” w starszych klasach przeważnie zapisujemy przy pomocy kreski ułamkowej (przypomnij sobie temat “Ułamek jako wynik dzielenia”). Daje nam to możliwość łatwiejszego przekształcania bardziej skomplikowanych wyrażeń na przykład poprzez skracanie licznika z mianownikiem.

Podajmy jeszcze kilka przykładów:

28^2 : 7^2 = (28 : 7)^2 = 4^2 = 16

( \frac{3}{5} )^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}

Ostatni wzór to tzw. “potęga potęgi”, czyli:

(a^n)^m = a^{n\cdot m}

Przykład:

(10^4)^6 = 10^{4\cdot 6} = 10^24

Pytanie kontrolne: Co widzisz patrząc na wyrażenie 10^{24} ?
Odpowiedź: Dwadzieścia cztery wymnożone przez siebie dziesiątki (jeśli nie pamiętasz dlaczego, to odwołuję to tematu “Potęga o wykładniku naturalnym”).

Dalsze wzory dotyczą iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych podstawach:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

a^m : a^n = a^{m-n}

lub:

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Przykłady:

10^{12} = 10^{8+4} = 10^8 \cdot 10^4 – przekształcenie stosowane m. in. w działaniach na liczbach zapisanych w postaci notacji wykładniczej.

3^{16} : 3^{12} = 3^{16-12} = 3^4 = 81

\frac{9^7}{9^5} = 9^{7-5} = 9^2 = 81

Dokładniej omówiona lekcja znajduje się poniżej:

Działania na pierwiastkach

W przypadku pierwiastków sytuacja jest bardzo podobna do działań na potęgach:

\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}

\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a\cdot b}

\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}

\sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a : b}

lub:

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}

Przedstawmy jeszcze kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów:

\sqrt{8}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{8\cdot 2} = \sqrt{16} = 4

\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{27\cdot 8} = \sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{8} = 3\cdot 2 = 6

\sqrt{\frac{36}{16}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{16}} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}

Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.