Działania na potęgach i pierwiastkach

Witam! Dzisiaj podsumuję podstawowe wzory wykorzystywane podczas wykonywania działań na potęgach i pierwiastkach. Z pewnością przyda się to Wam podczas powtórzenia przed sprawdzianem w klasie ósmej (dział “Działania na liczbach”), ale również podczas przygotowania do egzaminu ósmoklasisty. Zapraszam!

Działania na potęgach

Odnośnie iloczynu potęg mamy następujące wzory:

$a^2 \cdot b^2 = (a\cdot b)^2$
$a^3 \cdot b^3 = (a\cdot b)^3$

Powyższe wzory oznaczają, że jeśli chcemy wymnożyć przez siebie potęgi dwóch liczb o tym samym wykładniku, to możemy najpierw wymnożyć przez siebie podstawy potęg a następnie otrzymany wynik podnieść do odpowiedniej potęgi. Na przykład:

$2^2 \cdot 5^2 = (2\cdot 5)^2 = 10^2 = 100$

Jednak znacznie częściej będziemy stosować wzory w przeciwnej kolejności, czyli rozbijać podstawę potęgi na iloczyn dwóch liczb, potęgując oddzielnie każda z nich:

$6^3 = (2\cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$

Podobnie działać będą wzory dla ilorazów:

$a^2 : b^2 = (a : b)^2$
$a^3 : b^3 = (a : b)^3$

Lub zapisując iloraz jako ułamek zwykły:

$\frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$
$\frac{a^3}{b^3} = ( \frac{a}{b} )^3$

Należy pamiętać, że mnożenie zapisane za pomocą dwukropka “ $:$ ” w starszych klasach przeważnie zapisujemy przy pomocy kreski ułamkowej (przypomnij sobie temat “Ułamek jako wynik dzielenia”). Daje nam to możliwość łatwiejszego przekształcania bardziej skomplikowanych wyrażeń na przykład poprzez skracanie licznika z mianownikiem.

Podajmy jeszcze kilka przykładów:

$28^2 : 7^2 = (28 : 7)^2 = 4^2 = 16$

$( \frac{3}{5} )^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}$

Ostatni wzór to tzw. “potęga potęgi”, czyli:

$(a^n)^m = a^{n\cdot m}$

Przykład:

$(10^4)^6 = 10^{4\cdot 6} = 10^24$

Pytanie kontrolne: Co widzisz patrząc na wyrażenie $10^{24}$ ?
Odpowiedź: Dwadzieścia cztery wymnożone przez siebie dziesiątki (jeśli nie pamiętasz dlaczego, to odwołuję to tematu “Potęga o wykładniku naturalnym”).

Dalsze wzory dotyczą iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych podstawach:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$
lub:
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Przykłady:

$10^{12} = 10^{8+4} = 10^8 \cdot 10^4$ – przekształcenie stosowane m. in. w działaniach na liczbach zapisanych w postaci notacji wykładniczej.

$3^{16} : 3^{12} = 3^{16-12} = 3^4 = 81$

$\frac{9^7}{9^5} = 9^{7-5} = 9^2 = 81$

Dokładniej omówiona lekcja znajduje się poniżej:

Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

Działania na pierwiastkach

W przypadku pierwiastków sytuacja jest bardzo podobna do działań na potęgach:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$
$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a\cdot b}$
$\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$
$\sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a : b}$
lub:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$