Wyrażenia algebraiczne – cz. 1

Podczas tej lekcji chciałbym abyśmy usystematyzowali swoją wiedzę dotyczącą wyrażeń algebraicznych a w szczególności działań wykonywanych na wyrażeniach algebraicznych – przypomnimy sobie w jaki sposób dodajemy i odejmujemy od siebie sumy algebraiczne, jak mnożymy jednomian przez sumę algebraiczną oraz jaką zasadą kierujemy się mnożąc przez siebie sumy algebraiczne. Wszystko przedstawimy na bazie kilku przykładów.
Lekcja podzielona będzie na dwie części. Na koniec każdej z nich rozwiążecie wybrane zadania i jak zwykle posłuchacie dobrej muzyki. Zatem proszę o uwagę.

Pojęcia wstępne (wyrażenie algebraiczne, jednomian, suma algebraiczna)

Na początku przypomnijmy, że wyrażenia algebraiczne służą do zapisywania informacji o otaczającym nas świecie za pomocą działań matematycznych w sposób ogólny. Oznacza to, że w przeciwieństwie do wyrażeń arytmetycznych (np. $2\frac{2}{3}\cdot4+(3,4)^3$ ) nie mamy możliwości wyznaczyć konkretnej wartości liczbowej. Przyczyną tego jest to, że wyrażenia algebraiczne zawierają tzw. niewiadome, czyli literki pod które możemy wstawić pewne wartości. Przykładami wyrażeń algebraicznych są:
$2x^2+1$
$a+2b+3c-7$ albo
$[(2x-1)^3-3y]+16$

Jeżeli znamy lub jesteśmy w stanie dowiedzieć się jakie są wartości niewiadomych to wtedy możemy obliczyć wartość wyrażenia algebraicznego. Wstawiamy wtedy podaną wartość liczbową pod każdą występującą w wyrażeniu niewiadomą (pamiętając, że wartości ujemne lub ułamkowe wstawiamy w nawiasach).

Przykład 1
Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego $2x^2-y(x+1)$ dla podanych wartości niewiadomych: $x=-2$ oraz $y=5$ .
$2\cdot(-2)^2-5\cdot((-2)+1) = 2\cdot4-5\cdot(-1)=8+5=13$ .

Przypomnijmy również, że wyrażenia algebraiczne zbudowane są z tzw. jednomianów czyli prostych wyrażeń składających się z liczb, liter lub ich iloczynów. Jednomianami mogą być np. $2x$ ; $-5a^2b$ ; $m^3$ lub też zwykła liczba $14$ .

W wyrażeniu algebraicznym wszystkie jednomiany powinny być uporządkowane czyli zapisane w ustalonej formie:
[znak|liczba|litery]

Przykład 2
Uporządkuj jednomian $\frac{1}{2}a^2\cdot4\cdot(-a)\cdotb^3\cdot(-5)$ :
Po kolei zajmujemy się trzema elementami jednomianu.
1) znak – w jednomianie znajduje się jedna liczba ujemna podniesiona do trzeciej potęgi i jeszcze jedna liczba ujemna. Mamy zatem parzystą ilość liczb ujemnych, zatem znak jednomianu będzie dodatni
2) liczba – mnożąc przez siebie liczby występujące w jednomianie otrzymujemy $\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=10$
3) litery – mnożymy przez siebie litery pamiętając o stosowaniu działań na potęgach oraz zapisując j w kolejności alfabetycznej:
$a^2\cdot a\cdot b^3=a^3\cdot b^3$
4) Na końcu zapisujemy jednomian w uporządkowanej i ustalonej postaci:
$10a^3\cdot b^3$ .

Ponadto przypomnijmy, że niektóre jednomiany mogą być do siebie podobne. Jednomiany podobne to takie, w których występuje dokładnie taka sama “część literowa”. Przykładami jednomianów podobnych mogą być: $-3x^2$ i $12x^2$ , albo $ab^3m$ i $-3ab^3m$ .

Na koniec przypomnijmy sobie czym jest suma algebraiczna. Otóż suma algebraiczna to suma jednomianów zaś jednomiany występujące w sumie algebraicznej nazywamy wyrazami sumy.

Przykład 3
Wypisz wyrazy sumy algebraicznej $x^2-y^2+2xy-6x-y$ :
Zauważmy, że w powyższym przykładzie występuję zarówno dodawanie jak i odejmowanie jednomianów. Zanim zaczniemy wypisywać wyrazy sumy musimy przekształcić są tak, aby wszystkie działania “-” zamienić na “+”. W tym celu każdy jednomian razem z poprzedzającym go znakiem minus zapisujemy w nawiasie zaś przed nawiasem zapisujemy znak dodawania. W ten sposób:
$x^2-y^2+2xy-6x-y= x^2+(-y^2)+2xy+(-6x)+(-y)$
Teraz możemy spokojnie wypisać wszystkie pięć wyrazów sumy algebraicznej:
$x^2$ , $-y^2$ , $2xy$ , $-6x$ , $-y$ .

W sumie algebraicznej może zdarzyć się, że w kilku różnych miejscach występują jednomiany podobne, możemy wtedy uprościć sumę wykonując tzw. redukcję wyrazów podobnych.

Przykład 4
Zredukuj wyrazy podobne: $3x^2-2x+1-4x^2-2$
Pracę dzielimy sobie na etapy:
1) Wyszukujemy (i najlepiej podkreślamy) wyrazy podobne. W przykładzie będą to:
$3x^2$ i $-4x^2$ , oraz liczby $1$ i $-2$ . Nie ma jednomianu podobnego do $-2x$ .
2) Wykonujemy dodawanie wyrazów podobnych (najlepiej w pamięci):
$3x^2+ (-4x^2) =-x^2$
$1+(-2)=-1$
3) Wypisujemy po kolei otrzymane i uporządkowane jednomiany, pamiętając również o tych dla których nie było jednomianów podobnych:
$-x^2-2x-1$
Podczas rozwiązywania zadań obliczenia należy wykonywać szybko i raczej w pamięci, cały przykład powiniem być zapisany mniej więcej tak:
$3x^2-2x+1-4x^2-2=\underline{3x^2}+(-2x)+ \underline{\underline {1}}+\underline{(-4x^2)}+\underline{\underline{(-2)}}=-x^2-2x-1$

Przejdźmy teraz do testu. Chciałbym abyście rozwiązali kilka przykładów z zadań uzupełniających z podręcznika. W odpowiedziach postarajce się wykorzystywać znaki działań:
* – mnożenie np. 2x*(3+y) jako $2x\cdot(3+y)$
/ – dzielenie np. m/5 jako $m:5$ lub do zapisu ułamków np. (2x+7)/3 jako $\frac{2x+7}{3}$
^ – potęgowanie np. 3^2 jako $3^2$ lub (2+x)^3 jako $(2+x)^3$