Dzielenie ułamków dziesiętnych

Witam! Na poprzednich lekcjach zajmowaliśmy się dodawaniem, odejmowaniem oraz mnożeniem ułamków dziesiętnych. Jak zapewne pamiętasz z lekcji matematyki pozostał nam do omówienia ostatni rodzaj działania – dzielenie. Dla wielu z Was może się ono okazać najtrudniejszym ze wszystkich działań. W głównej mierze opiera się ono na wykonywaniu działań pisemnych. Dlatego dobrze by było abyś przed rozpoczęciem tej lekcji przypomniał sobie w jaki sposób należy wykonywać dzielenie pisemne liczb naturalnych.

Jako przypomnienie możesz obejżeć poniższy filmik. Jeśli pamiętasz w jaki sposób dzielić pisemnie liczby przejdź do właściwej części lekcji.

Dzielenie pisemne liczb naturalnych – YouTube

Dzielenie ułamków dziesiętnych – wstęp

Na wstępnie przypomnijmy sobie pewną własność dzielenia. W czwartej klasie uczyliśmy się, że dzieląc przez siebie dwie liczby z zerami na końcu, możemy zarówno z dzielnej (liczby którą dzielimy) jak i z dzielnika (liczby przez którą dzielimy) skreślić taką samą ilość zer a iloraz (wynik dzielenia) nie zmieni się, na przykład:

Podobnie jeśli do dzielnej i dzielnika dodamy na końcu taką samą ilość zer wartość ilorazu również się nie zmieni, np:

Dodawanie i odejmowanie zer na końcu liczb to tak na prawdę mnożenie i dzielenie ich przez 10, 100, 1000 itd. Oznacza to, że wykonując dzielenie dwóch liczb możemy zarówno dzielną jak i dzielnik pomnożyć lub podzielić jednocześnie przez taką samą liczbę, a wynik dzielenia nie zmieni się. Możemy wykorzystać tę własność również przy dzieleniu ułamków dziesiętnych. Spójrz co wystarczy zrobić:

Przykład 1
Wykonaj dzielenie

Zgodnie z tym, co ustaliliśmy przed chwilą możemy zarówno liczbę jak i pomnożyć przez taką samą wartość. Jeśli pomnożylibyśmy je przez wtedy otrzymalibyśmy:

Możemy zatem zamienić działanie na otrzymując ten sam wynik. Zatem całe rozwiązanie wyglądałoby następująco:

.

Zauważ, że specjalnie pomnożyłem obie liczby przez 10 po to aby nie dzielic przez siebie ułamków dziesiętnych ale liczby naturalne. Postępując w ten sposób możemy znacząco ułatwić sobie wykonywanie kolejnych przykładów.

Przykład 2
Wykonaj dzielenie

Ponownie wymnóżmy obie liczby przez taką wartość, aby zamiast ułamków dziesiętnych otrzymać liczby naturalne. Oczywiście mnożenie przez “przesunęłoby” przecinek obu liczb o jedno miejsce w prawo. Otrzymalibyśmy:

– tutaj nadal nie mamy liczby naturalnej

Dlatego musimy wymnożyc obie liczby przez , dzięku temu otrzymamy:

W tym momencie możemy juz wykonać w pełni działanie:

Dzielenie ułamków dziesiętnych – zasada

W tym momencie możemy wprowadzić główną zasadę, którą będziemy kierować się wykonując dzielenie ułamków dziesiętnych. Oto ona:

Zasada dzielenia ułamków dziesiętnych
Aby podzielić przez siebie ułamki dziesiętne najpierw przesuwamy przecinek w dzielnej i w dzielniku o taką samą ilość miejsc w prawo tak, aby dzielnik stał się liczbą naturalną.

Przykłady
Przekształć liczby w działaniu zgodnie w zasadą dzielenia ułamków dziesiętnych:

a)
Stosując powyższą zasadę ustalamy, że aby przekształcić dzielnik () w liczbę naturalną wystarczy przesunąć w nim przecinek o jedno miejsce w prawo, zatem również o jedno miejsce w prawo przesuniemy przecinek w dzielnej:

b)
Stosując powyższą zasadę ustalamy, że aby przekształcić dzielnik () w liczbę naturalną wystarczy przesunąć w nim przecinek o trzy miejsca w prawo, zatem również o trzy miejsca w prawo przesuniemy przecinek w dzielnej:

c)
Stosując powyższą zasadę ustalamy, że aby przekształcić dzielnik () w liczbę naturalną wystarczy przesunąć w nim przecinek o dwa miejsca w prawo, zatem również o dwa miejsca w prawo przesuniemy przecinek w dzielnej:

Dzielenie ułamków dziesiętnych – część pisemna

Teraz, kiedy przesunęliśmy odpowiednio przecinek w obu liczbach, możemy wykonać dzielenie sposobem pisemnym. W tym celu zapisujemy obie liczby zgodnie ze schematem dzielenia pisemnego. Oto kontynuacje wcześniejszych przykładów:

Przykłady – cd

a) – w tym przykładzie łatwo jest od w pamięci obliczyć wynik działania.

b) Jedyne co musimy tutaj zrobić, to zapisać odpowiednie otrzymane liczby i wykonać na nich działanie pisemne:

Zatem wynik działania .

c) W tym przykładzie dzielna nadal ma postać ułamka dziesiętnego. W niczym nam to nie przeszkadza, musimy jednak pamiętać aby przecinek w otrzymanym wyniku ustawić dokładnie nad przecinkiem w liczbie którą dzielimy:

Otrzymujemy zatem, że: .

Teraz spójrz na ostatni przykład. Będzie on nieco trudniejszy, ponieważ w wyniku będziemy musieli zapisać większą ilość miejsc po przecinku niż w liczbie, którą dzielimy.

Przykład 3
Wykonaj dzielenie

Najpierw przesuwamy przecinek w obu liczbach tak, aby dzielnik stał się liczbą naturalną (czyli o jedno miejsce w prawo):

Teraz zapisujemy działanie w postaci pisemnej i wykonujemy je. Pamiętajmy, że dzielenie przez wykonujemy do momentu, aż otrzymamy wynik “bez reszty” na dole. Kiedy zabraknie nam cyfr do spisywania, zaczynamy spisywać “zera”.

Jako pracę domową proszę rozwiązać zadania:
Zadanie 1/167
Zadanie 2/168 a) c) e) g) i)
oraz wysłanie odpowiedzi w poniższym formularzu (dostępny do 17.04.2020 do godziny 20:00):

Praca domowa – Dzielenie ułamków dziesiętnych