Figury na płaszczyźnie cz. 1

Podczas tej lekcji omówimy następujące zagadnienia:
1. Czym są i jak oznaczamy: punkt, prosta, półprosta, odcinek
2. Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Do lekcji możesz wykorzystać informacje zawarte w podręczniku wydawnictwa GWO “Matematyka z plusem – klasa piąta” str. 104-106.

Czym są i jak oznaczamy: punkt, prosta, półprosta, odcinek?

Zanim omówimy w jaki sposób mogą być położone względem siebie proste przypomnijmy sobie czym są oraz jak oznaczamy proste oraz odcinki na płaszczyźnie. Przeanalizujmy poniższy rysunek:

Punkt to najprostsza figura geometryczna, oznaczamy go kropką a nazywamy dużymi literami alfabetu. Na rys. 1 widzimy punkty A, B, C, D, E i F.

Prosta jest to linia, która nie ma początku ani końca. Dodatkowo należy pamiętać o tym, że jest ona… prosta, czyli nie zagina się w żadnym miejscu. Aby móc ją nazwać możemy albo napisać przy niej małą literę alfabetu na przykład a. Będziemy wtedy mówić o niej “prosta a“. Możemy również wyznaczyć i nazwać dwa punkty, przez które prosta przechodzi np. A i B. Wtedy będziemy mówić o “prostej AB” lub “prostej BA“, gdyż nie ma dla nas znaczenia kolejność punktów przez które ona przechodzi. Należy jednak pamiętać, że w nazewnictwie obiektów matematycznych przeważnie stosujemy zasadę kolejności alfabetycznej.

Półprosta jest równa połowie prostej, na której ona leży. Półprosta ma punkt początkowy (na rysunku punkt E), ale nie ma końca (rozciąga się w nieskończoność). Półprostą określamy wskazując również drugi punkt przez który półprosta przechodzi (na rysunku punkt F). Taką półprostą nazwiemy “półprosta EF“. Ważna jest w tym przypadku kolejność punktów występujących w nazwie – pierwszy zawsze jest początkiem półprostej, drugi jest punktem przez który półprosta przechodzi.

Odcinek jest to fragment prostej ograniczony dwoma punktami. Na rys. 1 punkty końcowe odcinka to C i D zatem możemy go nazwać “odcinek CD” lub “odcinek DC“, gdyż podobnie jak w przypadku prostej kolejność występowania punktów nie ma znaczenia.

Wzajemne położenie prostych i odcinków na płaszczyźnie

Przeanalizujmy najpierw poniższy rysunek, na którym zaznaczono cztery proste: f, g, h oraz m.

Mówiąc o wzajemnym położeniu prostych na płaszczyźnie możemy wyróżnić trzy sytuacje:
a) Proste prostopadłe – proste, które przecinają się pod kątem prostym. Kąt ten można w łatwy sposób uzyskać korzystając z ekierki. Na rysunku widzimy dwie pary prostych prostopadłych: f i g oraz f i h. Symbolem oznaczającym prostopadłość w matematyce jest . Zapis odczytujemy “prosta f jest prostopadła do prostej g“.

b) Proste równoległe – o dwóch prostych powiemy, że są do siebie równoległe jeśli leżą w równej odległości od siebie. Proste równoległe albo nigdy się nie przetną albo będą się pokrywały. Prostymi równoległymi na rysunku 1 są proste g oraz h. Oznaczamy to i odczytujemy “prosta g jest równoległa do prostej h “.
c) Proste przecinające się – jeśli dwie proste nie są do siebie ani prostopadłe ani równoległe to mówimy, że po prostu się przecinają. Przykładami par prostych przecinających się będą na rys. 2: proste m oraz h, proste m oraz g jak również proste m oraz f.

Bardzo podobna sytuacja będzie w przypadku wzajemnego położenia odcinków. Do poprzedniego rysunku dodałem kilka odcinków w taki sposób, aby pokrywały się z narysowanymi wcześniej prostymi. Przypatrz im się uważnie:

Określając wzajemne położenie odcinków wystarczy zbadać położenie prostych, w których te odcinki się zawierają:
a) Dwa odcinki są prostopadłe, jeśli zawierają się w prostych do siebie prostopadłych. W naszym przypadku mamy dwie pary odcinków prostopadłych: oraz .
b) Dwa odcinki są równoległe, jeśli zawierają się w prostych do siebie równoległych. Na rysunku 3 widzimy jedną parę odcinków równoległych: .

Wyjaśnijmy również pojęcie odległości punktu od prostej oraz odległości między dziema prostymi równoległymi:

a) Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą. Ponadto odcinek taki zawsze jest prostopadły do prostej.

b) Odległość między prostymi równoległymi to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste. Odcinek ten musi być do nich prostopadły.

Praca Domowa czas do 16.03.2020 r. do godziny 20:00:

Na poniższym rysunku przedstawione są proste f, g, h, i, j, k, l. Kąty proste oznaczono zielonym kolorem. Na prostych znajdują się odcinki. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania:

[contact-form-7 404 "Nie znaleziono"]

Po skończonej pracy domowej ciekawostka: kiedy miałem 9-10 lat byłem fanem tego serialu: