Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

Witam! Na poprzednich lekcjach przypomniałeś sobie oraz przećwiczyłeś potęgowanie liczb (naturalnych, całkowitych oraz liczb wymiernych). W tym momencie kardynalnym błędem byłoby mylenie potęgowania ze zwykłym wymnażaniem. Dlatego jeśli sądzisz, że poniższe wyrażenie zostało obliczone w poprawny sposób:

3^4=12

koniecznie wróć do poprzedniego tematu!
Potęga o wykładniku naturalnym
oraz dokładnie przeczytaj treści z podręcznika ze stron 221-221. Na prawdę, dopóki posiadasz braki w tak podstawowej wiedzy z tego tematu NIE MOŻESZ realizować kolejnych treści.

Jednak jeśli według Ciebie powyższe wyrażenie powinno mieć wynik:

3^4=81 to zapraszam do kolejnej lekcji, w której poznasz sposoby mnożenia i dzielenia potęg o jednakowych wykładnikach, na przykład 2^4\cdot2^3 lub \frac{3^7}{3^5}. Poznasz dwa wzory opisujące sposób obliczania takich wyrażeń, będziesz musiał zrozumieć ich działanie lub po prostu nauczyć się na pamięć oraz przećwiczyć ich wykorzystanie w przykładach. Zapraszam.

Wzory – skąd się wzięły?

Zastanówmy się w jaki sposób można by było obliczyć przedstawione powyżej dwa wyrażenia. Pierwsze z nich:

2^4\cdot2^3

można byłoby zapisać w postaci iloczynu odpowiedniej ilości dwójek:

2^4\cdot2^3 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\hspace{3pt}\cdot\hspace{3pt}2\cdot2\cdot2

Wyrażenie po prawej stronie można zapisać również w postaci jednej potęgi:

2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^7

Daje nam to wynik:

2^4\cdot2^3=2^7

Możemy zauważyć więc zależność, że mnożąc przez siebie dwie potęgi o tych samych podstawach, wykładniki do siebie dodajemy, zaś podstawa się nie zmienia:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Powyższy wzór można uzasadnić w następujący sposób:

W podobny sposób można przedstawić wzór na dzielenie potęg o tych samych wykładnikach.

Rozpiszmy następujący przykład:

\frac{3^7}{3^5}=\frac{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}

Teraz, skracając parami po jednym czynniku z licznika i jednym z mianownika ułamka otrzymujemy:

\frac{\zout{3}\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{3\cdot3}{1}=3^2

Zauważamy, że dzieląc przez siebie potęgi i tych samych podstawach otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie i wykładnik, będący różnicą wykładnika z licznika i mianownika ułamka. Opisuje to poniższy wzór:

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

lub przy użyciu znaku “:” zamiast kreski ułamkowej:

a^m:a^n=a^{m-n}

Uzasadnienie powyższego wzoru można przedstawić na następującym schemacie:

Wykorzystanie wzorów

Powyższe wzory stosujemy wtedy, gdy chcemy wymnożyć lub wydzielić dwie potęgi o tych samych podstawach. Do wyboru mamy bardzo dużo różnych poleceń zadań, jednak na egzaminie ósmoklasisty przeważnie zadania polegają na “upraszczaniu” wyrażenia potęgowego, m. in. z wykorzystaniem omawianych dzisiaj wzorów.

Zaprezentujmy rozwiązania kilku przykładów z podręcznika.

Zadanie 1/226

Najpierw wykonajmy przykład b)

W tym przykładnie mnożymy dwie potęgi o tych samych podstawach. Stosujemy zatem pierwszy z poznanych dzisiaj wzorów, czyli a^m\cdot a^n=a^{m+n} przepisując bez zmian podstawę potęgi zaś wykładniki do siebie dodając:

(-123)^3\cdot (-123)^9=(-123)^{3+9}=(-123)^{12}

teraz przykład e)

Zauważ, że przykład opiera się na dzieleniu dwóch wyrażeń potęgowych. Wykorzystamy zatem drugi z poznanych wzorów czyli a^m:a^n=a^{m-n} wiedząc, że jeśli przy liczbie nie stoi żadna potęga, to domyślnie można zapisać potęgę pierwszą czyli 1\frac{1}{3}=(1\frac{1}{3})^1:

(1\frac{1}{3})^{13}:1\frac{1}{3}=(1\frac{1}{3})^{13}:(1\frac{1}{3})^1=(1\frac{1}{3})^{13-1}=(1\frac{1}{3})^{12}

oraz przykład g)

Najpierw zastosujemy wzór a^m\cdot a^n=a^{m+n} upraszczając wyrażenie w liczniku, zaś następnie wzór \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} upraszczając cały ułamek:

\frac{a^9\cdot a^6}{a^4}=\frac{a^{15}}{a^4}=a^{11}.

Zadanie 2/226

W tym zadaniu omówimy przykład c)

Po pierwsze aby zastosować omawiane na lekcji wzory musimy doprowadzić do sytuacji, w której wykonujemy działania na potęgach o tej samej podstawie. Jedynie liczba 27 nie pasuje pod tym względem do reszty. Powinieneś jednak zauważyć, że można ją przedstawić w postaci potęgi liczby 3 czyli 27=3^3. Możemy zatem zapisać to w przykładzie:

27\cdot3^{11}:3^{10}=3^3\cdot3^{11}:3^{10}

Teraz uprościmy wyrażenie wykonując działania “od lewej do prawej”:

3^3\cdot3^{11}:3^{10}=3^{3+11}:3^{10}=3^{14}:3^{10}=3^{14-10}=3^{4}.

Zadanie 4/226

To zadanie wymaga od nas zapisania wszystkich występujących w nim wyrażeń jako potęg o tej samej podstawie. Rozważmy przykład e)

25\cdot5^{\bigstar}\cdot125=5^{10}
5^2\cdot5^{\bigstar}\cdot5^3=5^10

Teraz zastosujemy pierwszy wzór z dzisiejszej lekcji aby zapisać lewą stronę równania w postaci jednej potęgi:

5^{2+\bigstar+3}=5^{10}

Teraz możemy zauważyć, że obie strony równania będą sobie równe tylko wtedy, gdy wykładniki obu potęg będą miały tę samą wartość, zatem rozwiązujemy poniższe równanie:

2+\bigstar+3=10
\bigstar+5=10 ||-5
\bigstar=5.

Zadanie 5/226

W tym zadaniu musimy wykorzystywać zarówno poznane dzisiaj wzory jak również pamiętać o następujących zasadach:
– wszystkie występujące w wyrażeniu potęgi staramy się zapisać w postaci potęgi o tej samej podstawie;
– podnosząc liczbę ujemną do potęgi parzystej otrzymujemy wartość dodatnią, np. (-7)^6=7^6;
– podnosząc liczbę ujemną do potęgi nieparzystej otrzymujemy wartość ujemną, np. (-5)^3=-5^3;

Z tą wiedzą wykonajmy przykład f)

\frac{12^5}{(-12)^3\cdot12}\stackrel{1)}{=}\frac{12^5}{-12^3\cdot12^1}\stackrel{2)}{=}-\frac{12^5}{12^{3+1}}=-\frac{12^5}{12^{4}}\stackrel{3)}{=}-12^{5-4}=-12^1=-12.

Omówmy co działo się w kolejnych krokach:
1) w mianowniku zamienione zastało wyrażenie (-12)^3 na -12^3 (zgodnie z informacjami we wskazówce) oraz liczbę 12 zapisałem jako 12^1 (ściśle wizualny zabieg ułatwiający zauważenie potęgi);
2) przeniosłem znak “-” przed ułamek, ponieważ wiem, że wartość całego wyrażenia będzie ujemna. W mianowniku zastosowałem również wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach;
3) zastosowałem wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach, pamiętając o zapisywaniu znaku “-” przed całym ułamkiem.

Temat związany z działaniami na potęgach jest dość trudny, wymaga zarówno dobrej znajomości samych wzorów, jak i zagadnień z poprzednich działów matematyki: działania na liczbach wymiernych, kolejność wykonywania działań, działania na wyrażeniach algebraicznych oraz rozwiązywanie równań. Widzisz zatem, że teoretycznie prosty (bo znajdujący się na samym początku działu) temat okazuje się być dość skomplikowany (bo opiera się na wielu poprzednich zagadnieniach). Tak niestety będzie z dalszymi tematami, zarówno w klasie siódmej, ósmej jak i w szkole średniej.

Praca domowa

Dzisiejsza lekcja była dość trudna i długa, dlatego w ramach pracy domowej postaraj się wykonać tylko po jednym przykładzie z każdego omawianego dzisiaj zadania, zrób zdjęcie rozwiązania i wyślij na Librusie.

Na następnej lekcji skupimy się głównie na zadaniach, dlatego przygotuj się do nich dobrze zapamiętując poznane dzisiaj wzory i przypominane własności potęg.

Pozdrawiam,
Marcin Kukiełka

Tagi .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.