Liczby spełniające równanie

Witam, na dzisiejszej lekcji rozpoczniemy wprowadzanie nowego materiału. Ostatnio przedstawiliśmy do czego służą równania. Dzisiaj wykorzystamy wiedzą z działu “wyrażenia algebraiczne” i będziemy wstawiać pod niewiadome w równaniach różne liczby oraz sprawdzać czy “spełniają one równanie”.

Liczby spełniające równanie

Przypomnijmy, że w miejsce niewiadomej w równaniu możemy wstawiać dowolne wartości. Ale tylko niektóre z nich będą tzw. “spełniały równanie”. Co to znaczy? Przyjrzyjmy się przykładom:

Przykład 1
Wstaw wartość -3 pod niewiadomą x w równaniu:
2x^2 - 3x = 3x-4
i sprawdź, czy spełnia ona równanie.
Rozwiązanie:
1) Wstawiamy liczbę -3 w miejsce każdej niewiadomej w równaniu:
2(-3)^2 - 3(-3)= 3(-3)-4
2) Upraszczamy obie strony równania czyli wykonujemy działania, które się tam znajdują:
2\cdot9 + 9 = -9-4
18 +9 = -13
27 = -13
3) Zauważamy, że po lewej i po prawej stronie równania mamy inne wartości:
27\neq-13
Oznacza to, że liczba x=-3 nie spełnia równania 2x^2 - 3x = 3x-4.

Przykład 2
Wstaw wartość 2 pod niewiadomą x w równaniu:
2x^2 - 3x = 3x-4
i sprawdź, czy spełnia ona równanie.
Rozwiązanie:
1) Wstawiamy liczbę 2 w miejsce każdej niewiadomej w równaniu:
2\cdot2^2 - 3\cdot2= 3\cdot2-4
2) Upraszczamy obie strony równania:
2\cdot4 - 6 = 6-4
8 - 6 = 2
2 = 2
3) Zauważamy, że po lewej i po prawej stronie równania mamy takie same wartości. Oznacza to, że liczba x=2 spełnia równanie 2x^2 - 3x = 3x-4.

Liczba spełnia równanie wtedy, gdy po wstawieniu jej w miejsce każdej niewiadomej, obie strony równania mają tą samą wartość. Często taką liczbę będziemy nazywać rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równania. Zapamiętaj obie te nazwy!

Liczba rozwiązań równania

Okazuje się, że równania nie zawsze muszą mieć jedno rozwiązanie. Przypatrz się poniższym przykładom:

  1. Równanie 2x+3=7 ma jedno rozwiązanie: x=2
  2. Równanie x^2=4 ma dwa rozwiązania: x=2 oraz x=-2
  3. Równanie 2x(x-2)(x+1)=0 ma aż trzy rozwiązania: x=-1, x=0 oraz x=2
  4. Równanie x+3x+5 = 4x + 2 + 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Wyjaśnienie:
    Jeżeli uprościmy obie strony równania, to otrzymamy:
    4x + 5 = 4x + 5
    Obie strony równania mają taką dokładnie taką samą postać, więc pod niewiadomą możemy wstawić dowolną liczbę, a wtedy lewa i prawa strona równania będą miały zawsze te same wartości.
  5. Równanie x=x+1 nie ma rozwiązań.
    Wyjaśnienie:
    Odpowiedzmy sobie na pytanie: czy istnieje liczba, która będzie równa liczbie o jeden większej od siebie? Oczywiście, że nie. Dlatego też powyższe równanie nie ma żadnych rozwiązań.

Ostatnie dwa przykłady są niezwykle ważne, dlatego nadano specjalne nazwy dla równań je reprezentujących:
Równanie, które nie ma żadnych rozwiązań to równanie sprzeczne, zaś równanie które ma nieskończenie wiele rozwiązań to równanie tożsamościowe. Te nazwy również koniecznie zapamiętaj.

Równania równoważne

Mówimy, że dwa równania są równoważne wtedy, gdy mają dokładnie taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 3:
Które z poniższych równań są równoważne?
I. 2x+2=6
II. x^2=4
III. x+3=5
IV. 4+x=2
Rozwiązanie:
Powyższe równania maja następujące zbiory rozwiązań:
I. 2x+2=6 – rozwiązania: x=2
II. x^2=4 – rozwiązania: x=-2 oraz x=2
III. x+3=5 – rozwiązania: x=2
IV. 4+x=2 – rozwiązania: x=-2
Możemy zauważyć, że tylko równania I. oraz III. maja takie same zbiory rozwiązań, zatem tylko te dwa równania są równoważne.

Dodatkowe informacje

Zadania z tego tematu mogą być sformułowane w mniej lub bardziej zawiły sposób. Zanim przeczytasz resztę tego tekstu postaraj się przeczytać polecenia zadań: 3/180, 4/180, 8/181 (wymaga przeczytania ciekawostki) oraz 11/181. Jeśli rozumiesz ich treści i domyślasz się co należaoby zrobic w każdym z nich to gratuluję. Jesli jednak ni wszystko jest jasne zachęcam do zapoznania się z następującymi podpowiedziami:

Zad. 3/180
Jeśli wiemy, że równanie ma dwa rozwiązania będące liczbami naturalnymi mniejszymi od 7, wystarczy że będziemy sprawdzać po kolei każdą z tych liczb aż dowiemy się które z nich spełniają równanie.
(na pomarańczowym polu jest kolejna podpowiedź :] )

Podpowiedź: będą to któreś z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zad. 4/180
Jeśli wiesz, że rozwiązaniem równania jest liczba 10, to wstaw ją najpierw pod niewiadomą x, uprość, a potem postaraj się odgadnąć co trzeba wstawić pod niewiadomą a żeby otrzymać równość obu stron równania.

Przykład a)
5x+3=a – wstawmy liczbę x=10
5\cdot10+3=a – upraszczamy lewą stronę równania
50+3=a
53=a – rozwiązaniem przykładu jest a=53

Zad. 8/181
Z ciekawostki po lewej stronie wynika, że wartością bezwzględną z liczby dodatniej jest ta sama liczba dodatnia, zaś wartością bezwzględną z liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna. Teraz wystarczy zastanowić się czy w danym równaniu jesteśmy w stanie podać liczbę, z której wartość bezwzględna będzie mniejsza od zera? A może będzie równa liczbie o jeden większej? Ewentualnie czy wartości bezwzględne mogą mieć wartości przeciwne?

Zad. 11/181
Jeżeli równania równoważne mają mieć taki sam zbiór rozwiązań, to wystarczy wymyślić przykłady innych równań o takich samych rozwiązaniach.
a) 3x=15 Rozwiązaniem tego równania będzie liczba x=5, ponieważ 3\cdot5=15.
Inne równania, których rozwiązaniem będzie liczba 5, mogą wyglądać tak:
2x=10
x+2=7
7-x=2
itp.

Dodatkowa podpowiedź: Jeśli chcesz ułożyć równanie, którego rozwiązaniem jest konkretna liczba, np. 5 wymyśl najpierw poprawne działanie z zapisana w nim liczbą 5, a dopiero potem zamień ją na niewiadomą x.

[contact-form-7 404 "Not Found"]
Tagi .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.