Pole prostokąta i kwadratu

Witam! Rozpoczynamy nowy dział matematyki związany z polami figur. W klasie czwartej mówiliśmy już o tym czym jest pole, jak obliczyć pole prostokąta i kwadratu oraz jak zamieniać jednostki pola. Dzisiaj przypomnimy sobie te wiadomości. Muszę ostrzec, że dobre zrozumienie i przećwiczenie dzisiejszego tematu jest niezwykle ważne do późniejszego opanowania tematów związanych z polami innych figur. Dlatego sugeruję wytężyć uwagę, a w razie problemów proszę dopytywać w komentarzach pod lekcją lub w czasie konsultacji. Zapraszam!

Czym jest pole?

Pole (często nazywane również powierzchnią) figury jest wielkością opisującą jak dużo miejsca zajmuje dana figura na płaszczyźnie. Aby móc jednoznacznie określać tę wielkość stosujemy specjalne jednostki: centymetry kwadratowe [], metry kwadratowe [] i inne pochodzące od znanych Ci jednostek długości.

Podstawową jednostką powierzchni jest . Jest to nic innego jak kwadrat o boku długości jednego metra:

W podobny sposób możemy opisać pozostałe jednostki pola:
– do kwadrat o boku długości
– do kwadrat o boku długości
– do kwadrat o boku długości
– do kwadrat o boku długości

Takie kwadraty nazywamy w matematyce “kwadratami jednostkowymi”

Aby dowiedzieć się jakie jest pole figury należy policzyć ile kwadratów z danej jednostki się w niej znajduje, na przykład w poniższej figurze:

Widzimy, że figura składa się z takich samych kwadratów każdy o boku długości . Oznacza to, że pole każdego kwadratu wynosi . Teraz wystarczyłoby policzyć z ilu kwadratów składa się prostokąt i udzielić odpowiedzi: pole prostokąta wynosi , co możemy zapisać tak:

Jednak obliczanie powierzchni figur polegające na “dodawaniu do siebie kwadracików” zwykle jest bardzo pracochłonne, a często niemożliwe do wykonania. Dlatego możemy łatwo usprawnić swoją pracę zauważając prosty fakt:

Powyższy prostokąt składa się z trzech poziomych rzędów, w których znajduje się dokładnie po sześć kwadracików. Jeśli pomnożymy przez siebie te dwie liczby otrzymamy osiemnaście czyli dokładnie tyle z ilu kwadracików składa się cały prostokąt. Dokładne obliczenie pola z zapisywaniem jednostek wyglądałoby tak:

Zauważ, że w obliczeniach zapisywałem jednostki długości w kwadratowych nawiasach . Zapisywanie jednostek w obliczeniach nie jest konieczne i z powodzeniem mogłoby zostac pominięte, wtedy obliczenia wyglądałyby tak:

Jednak każdorazowe zapisywanie jednostek w obliczeniach ułatwia nam zapamiętać aby zapisać jednostki powierzchni przy wyniku, a to jest już konieczne i nie wolno o tym zapominać.

Ponadto zapisywanie jednostek długości ma jeszcze jedną korzyść. Obliczając pole figury możemy wykonywać działania tylko i wyłącznie na wielkościach wyrażonych w tej samej jednostce, zatem jeśli w naszych obliczeniach zauważymy pojawiające się dwie różne jednostki jest to dla nas jasna informacja, że zanim wykonamy działanie musimy wyrazić wszystkie długości w tej samej jednostce.

Pole prostokąta

W poprzednim przykładzie wyznaczyliśmy tak na prawdę prosty sposób na obliczenie pola dowolnego prostokąta. Wystarczy pomnożyć przez siebie długości dwóch sąsiednich boków (oczywiście wyrażone w tej samej jednostce długości) a wynik zapisać z odpowiednią jednostką kwadratową.

Ogólną zasadę obliczania pola prostokąta opisuje poniższy wzór:

gdzie i są długościami boków prostokąta wyrażonymi w tej samej jednostce.

Przykład:

Oblicz pole prostokąta o bokach długości oraz .

Na początku wykonamy rysunek pomocniczy czyli szkic prostokąta wraz z podpisanymi długościami boków podanymi w treści zadania.

Wiemy, że aby obliczyć pole prostokąta należy pomnożyć przez siebie długości sąsiednich boków wyrażone w tych samych jednostkach. Dlatego musimy zdecydować czy wszystkie długości zapiszemy w centymetrach czy w decymetrach. Mój wybór padł na centymetry, zatem od razu obok rysunku wykonuję zamianę:

Teraz zapiszmy wzór na pole prostokąta i podstawmy pod oraz długości boków podane w zadaniu. Do obliczenia wyniku wystarczy znać jedynie tabliczkę mnożenia.

.

Jeśli chcesz możesz też zapisać zamianę jednostek długości bezpośrednio w obliczeniach:

.

Pole kwadratu

Znając zasadę obliczania pola prostokąta oraz pamiętając, że kwadrat jest specjalnym rodzajem prostokąta o wszystkich bokach tej samej długości, możemy również zapisać wzór na pole kwadratu:

lub prościej

gdzie jest długością boku kwadratu

Wykorzystanie praktyczne

Bardzo często w życiu codziennym możemy spotkać się z zapisem np. lub itp. Możemy również usłyszeć następujące zdanie:

“Blat stołu ma wymiary 60 na 80 centymetrów”

Takie wyrażenia informują nas, że mamy do czynienia z prostokątem o określonych długościach boków.

Zapis “a x b” oznacza, że mamy na myśli prostokąt o bokach długości i . Wtedy możemy opisać go wypowiadając zdanie:

“Prostokąt o wymiarach na “

gdzie i są długościami jego boków.

Zatem opisany powyżej blat stołu będzie miał kształt prostokąta o bokach długości i . Czy potrafiłbyś obliczyć powierzchnię tego stołu?

Rozwiązanie:

Dane:
, – długości boków prostokąta będącego blatem stołu

.

W klasie czwartej uczyłeś się zamiany jednostek pola i wiesz, że powyższy wynik można wyrazić na przykład w decymetrach kwadratowych. Spokojnie, zamiana jednostek powierzchni będzie tematem dopiero kolejnej lekcji. Po dzisiejszych zajęciach zrób jedynie krótką pracę domową.

Praca domowa

Rozwiąż zadania:
1/183 a) c) e)
2/183

Uzupełniając poniższy formularz:
Praca domowa

Pozdrawiam,
Marcin Kukiełka