Potęga o wykładniku naturalnym

przez | | ,

Witam! Rozpoczynamy nowy dział matematyki w klasie siódmej – “Potęgi i pierwiastki”. O ile z potęgami spotkałeś się już w klasie piątej, to pierwiastki będą dla Ciebie całkiem nowym zagadnieniem. Nie przejmuj się jednak na zapas, jeśli porządnie przećwiczysz początkowe zagadnienia działu związane z potęgami, zrozumienie pojęcia pierwiastka nie sprawi Ci wiele trudności.

Na dzisiejszej lekcji przypomnisz sobie czym jest potęga, w jaki sposób posługujemy się zapisem potęgowym oraz jak obliczać wartości potęg zarówno liczb naturalnych, całkowitych jak i wymiernych (ułamków) o wykładnikach naturalnych. Zapraszam!

Czym jest potęga?

Potęgowaniem nazywamy wielokrotne mnożenie danej liczby przez siebie samą. Na przykład zapisując 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 mamy do czynienia właśnie z potęgowaniem.

Jak zapewne pamiętasz potęgowanie zapisujemy w pewien specjalny sposób:

    \[a^n=a\cdot a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\cdot a\]

gdzie liczbę a nazywamy podstawą potęgi, zaś liczbę n wykładnikiem potęgi. Wartość wykładnika wskazuje na to ile liczb a będziemy przez siebie mnożyć, na przykład:

a^3=a\cdot a\cdot a
a^7=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a

Ponadto bardzo ważne są dwie własności:

a^1=a
a^0=1, gdzie a\neq0

Potęgowanie w przykładach

Po pierwsze przypomnijmy, że potęgować możemy zarówno liczby dodatnie jak i ujemne. Podobnie jak podczas mnożenia liczb ujemnych, potęgując musimy zwrócić uwagę na to jaki znak będzie miał wynik. Kierujemy się prosta zasadą:

Potęgując liczbę ujemną:
– jeśli wykładnik jest parzysty, to wynik potęgowania jest dodatni
– jeśli wykładnik jest nieparzysty, to wynik potęgowania jest ujemny

Na przykład:

(-2)^4=16
(-2)^5=-32

Kolejną kwestią jest zapis:

Jeśli do potęgi chcemy podnieść całą liczbę ujemną, wtedy musimy zapisać ją w nawiasie, np. (-3)^4=81.

Jednak zapisanie podobnego działania, ale bez użycia nawiasów powoduje, że do potęgi podnosimy tylko i wyłącznie samą liczbę, znak “minus” pozostawiamy bez zmian, np. -3^4=-81

Podsumowując możemyzapisać poniższą zasadę:

Wykładnik potęgi “działa” tylko na liczbę dodatnią przy której stoi, aby spotęgować liczbę ujemną, ułamek zwykły, dziesiętny lub wyrażenie arytmetyczne należy zapisać je w nawiasie.

W ten sposób dochodzimy do potęgowania ułamków. Dla ułamków zwykłych mamy następującą zasadę:

Potęgując ułamek zwykły lub liczbę mieszaną najpierw (jeśli jest taka możliwość) zamieniamy go na ułamek niewłaściwy a następnie podnosimy do potęgi osobno licznik i osobno mianownik ułamka

    \[(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Przykład

(\frac{2}{3})^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}

(3\frac{2}{5})^2=(\frac{17}{5})^2=\frac{17^2}{5^2}=\frac{289}{25}=11\frac{14}{25}

Z kolei potęgując ułamki dziesiętne mamy do wyboru albo starać się wykonywać działania w pamięci, albo najpierw zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły a następnie wykonać potęgowanie zgodnie z poprzednio zapisaną zasadą.

Praca domowa

Wykonaj zadania:
1/221 b) d) f)
2/221
6/222 b) d) f) h) j)
Wykonaj zdjęcia rozwiązań i wyślij na Librusie w module “zadanie domowe”.

1 - 0

Thank You For Your Vote!

Sorry You have Already Voted!

Otagowano .Dodaj do zakładek Link.

2 odpowiedzi na „Potęga o wykładniku naturalnym”

  1. Maks komentarz:
    4 maja 2020 w 15:02

    chyba wkradł się błąd (-2)5 = powinno być chyba -32, a nie 32

    • Marcin KukiełkaMarcin Kukiełka komentarz:
      5 maja 2020 w 21:44

      Dokładnie 🙂 W tej sytuacji powinienem chyba napisać, że sprawdzałem Waszą czujność… ale mało kto by w to uwierzył :p
      Plus dla Ciebie