Przekształcanie wzorów

Witam! Poprzednia lekcja z tego tematu polegała na samodzielnym przeanalizowaniu treści z podręcznika oraz wykonaniu kilku przykładów. Dostałem jednak kilka wiadomości z informacją, że niektórzy z Was nie zrozumieli w jaki sposób należy przekształcać wzory. Dlatego na dzisiejszej lekcji oprócz kontynuacji tematu wyjaśnię i zaprezentuję o co chodzi w przekształcaniu wzorów. Zapraszam.

Przekształcanie wzorów – jak i po co?

Jak zapewne wiesz wzór w matematyce opisuje pewna zależność między występującymi w nim wielkościami. Na przykład wzór na pole prostokąta P=a\cdot b zawiera zależność między wielkością pola P a długościami jego boków a i b. Znając długości boków prostokąta, na przykład a=5 i b=8 możemy policzyć pole prostokąta P=5\cdot8=40.

Jednak w wielu zadaniach poleceniem będzie znaleść taką długość jednego z boków prostokąta, aby pole było równe wskazanej wartości. Przypatrz się bliżej poniższemu przykładowi:

Przykład 1
Jeden z boków prostokąta ma długość 4cm zaś jego pole wynosi P=36cm^2. Oblicz długości pozostałych boków prostokąta.

Zauważ, że podstawiając pod wzór na pole prostokąta P=a\cdot b podane w zadaniu wartości otrzymujemy:

    \[36[cm^2]=4[cm]\cdot b\]


Wiesz już zapewne, że wyliczenie długości drugiego boku polegać będzie na wykonywaniu takich działań obustronnych aby po jednej stronie równania pozostała tylko nasza niewiadoma b zaś po drugiej stronie cała reszta równania (w tym wypadku konkretna liczba).
36=4\cdot b ||:4
9[cm]=b

W ten sposób obliczyliśmy wartośc niewiadomej b przekształcając odpowiednio wzór. Podobna sytuacja miałaby miejsce w zadaniu o następującym poleceniu:

Przykład 2
Ze wzoru na pole prostokąta P=a\cdot b wyznacz niewiadomą b.

Tym razem zamiast konkretnych wartości P i a mamy niewiadome, jednak całe zadanie nadal polega na wyznaczeniu ze wzoru wartości b, zatem staramy się wykonywać takie działania obustronne, aby po jednej stronie równania pozostała sama niewiadoma b zaś po drugiej cała reszta wzoru:

P=a\cdot b ||:a
\frac{P}{a}=b

W ten sposób wyznaczyliśmy wartość b ze wzoru na pole prostokąta. Zauważ, że w tym celu wykonywaliśmy obustronne dzielenie przez a. Bardzo ważne w tym momencie jest zwrócić uwagę na to, że nie możemy dzielić przez 0, zatem podczas przekształcania wzoru ustalamy dodatkowe założenia:
Zał. a\neq0
Na tym można zakończyć zadanie.

Przekształcanie wzorów – przykłady

W klasie siódmej zmagać się będziesz tylko ze wzorami, w których żądana do wyznaczenia niewiadoma występuje tylko w jednym miejscu równania. Wyznaczanie niewiadomych ze skomplikowanych wzorów, w których niewiadoma występuje w wielu miejscach równania wykonywane będzie na późniejszych etapach nauki.

Aby wyznaczyć niewiadoma z równania wykonujemy takie działania obustronne, aby odpowiednio przenosić na drugą stronę równania wszystkie niewiadome i liczby tak, aby po jednej stronie pozostała tylko żądana niewiadoma. Należy zwrócić uwagę na to, że działania te będziemy wykonywać począwszy od tych “najbardziej zewnętrznych” które występują w równaniu tak, aby “uwolnić” żądaną niewiadomą. Przyjrzyj się przykładowi:

Przykład 3
Ze wzoru V=5(b+3m) wyznacz niewiadomą m:

Uwalnianie niewiadomej m zaczynamy od najbardziej “zewnętrznej” wartości z prawej strony równania, czyli od liczby 5:

V=5(b+3m) ||:5 – nawias jest wymnożony przez 5 zatem wykonujemy działanie odwrotne do mnożenia, czyli dzielenie przez 5
\frac{V}{5}=b+3m – skoro wyrażenie b+3m występuje samo po prawej stronie równania możemy zapisać je bez nawiasów

Teraz najbardziej zewnętrzną wartością po prawej stronie równania jest niewiadoma b – przeniesiemy ją na lewą stronę wykonując obustronne jej odejmowanie:

\frac{V}{5}=b+3m ||-b
\frac{V}{5}-b=3m

Teraz wystarczy podzielić obie strony równania przez liczbę, która stoi przy niewiadomej m co daje nam:

\frac{V}{5}-b=3m ||:3

\frac{\frac{V}{5}-b}{3}=m

W ten sposób wyznaczyliśmy ze wzoru wartość m. Zauważ, że podczas przekształcania wzoru nie wykonywaliśmy nigdzie dzielenia przez niewiadome, dlatego nie musieliśmy wypisywać założeń co do zakazu dzielenia przez 0 (tak jak to było w przykładzie 2).

Może zdarzyć się również sytuacja, że żądana niewiadoma występuje w mianowniku ułamka, aby się “do niej dostać” musimy obustronnie pomnożyć przez tę niewiadomą, wtedy pojawi się ona w liczniku ułamka po prawej stronie. Spójrz na przykład:

Przykład 4
Ze wzoru S=\frac{bt}{am} wyznacz niewiadomą m:

Na początku zauważamy, że w mianowniku ułamka po prawej stronie znajdują się dwie wymnożone przez siebie niewiadome: a oraz m. Wartość mianownika nie może być równa 0 zatem żaden z występujących w nim czynników nie może być równy 0. Oznacza to, że musimy wprowadzić odpowiednie założenia, mianowicie:
Zał. a\neq0 oraz m\neq0
Dopiero teraz zajmiemy się przekształcaniem wzoru. Skoro żądana niewiadoma m znajduje się w mianowniku ułamka po prawej stronie, możemy wymnożyć przez nią obie strony równania. Zniknie ona wtedy z prawej strony a pojawi się po lewej stronie równania – wymnożona przez znajdująca się tam niewiadomą S. Wystarczy następnie usunąć z lewej strony niewiadomą S poprzez obustronne dzielenie (pamiętając o założeniach, że dzieląc przez niewiadomą nie może być ona równa 0). Całość przekształceń wygląda następująco:

S=\frac{bt}{am} ||\cdot m

Sm=\frac{bt}{a} ||: S – Zał. S\neq0

m=\frac{bt}{aS} – skoro dzielimy przez S zatem niewiadoma pojawia się w mianowniku ułamka po prawej stronie równania

Przypatrzmy się teraz na przykłady z zadania 7 ze strony 211. Przykład bardzo podobny do podpunktu a) został już przeze mnie omówiony. Postaraj się teraz wykonać przykład a) samodzielnie, w razie problemów postępuj według wzoru z przykładu 3.

Zadanie 7/211

Pokażę teraz jak wykonać dwa inne przykłady, zaś Twoim zadaniem domowym będzie uporać się z pozostałymi sześcioma podpunktami.

e) e=\frac{a-1}{k+1}

Prawa strona równania zawiera ułamek o mianowniku k+1. Oznacza to, wartość tego wyrażenia nie może być równa 0. Oznacza to, że k\neq -1, ponieważ gdyby k miało wartość -1 wtedy w mianowniku ułamka mielibysmy wartość 0. Dlatego na początku przykładu zapisujemy konieczne założenia:

Zał. k\neq -1

Zauważmy, że nie możemy wymnożyć obu stron równania jedynie przez niewiadomą k ale przez całe wyrażenie algebraiczne zawarte w mianowniku ułamka:

e=\frac{a-1}{k+1} ||\cdot(k+1)

e(k+1)=a-1 ||:e – Zał. e\neq0

k+1=\frac{a-1}{e} ||-1

k=\frac{a-1}{e}-1

Otrzymaliśmy więc wyznaczona wartość k.

h) 3+2k(M-2)=D

Rozpoczynamy uwalnianie niewiadomej k od pozostałych wartości występujących po lewej stronie równania usuwając z niej najbardziej “zewnętrzne” wartości:

3+2k(M-2)=D ||-3

2k(M-2)=D-3 ||:2(M-2)

zauważ, że wartość k po lewej stronie równania wymnożona jest zarówno przez liczbę 2 jak i wyrażenie (M-2). Możemy za jednym zamachem przenieść oba te czynniki na prawa stronę dzieląc jednocześnie przez ich iloczyn: 2(M-2). Należy jednak pamiętać, że dzieląc przez wyrażenie (M-2), które zawiera niewiadomą, musimy wprowadzić konieczne założenia:
Zał. M-2\neq0 zatem M\neq2
Po wykonaniu działania otrzymujemy ostateczny wynik:

k=\frac{D-3}{2(M-2)}.

Przekształcanie wzorów jest jednym z trudniejszych tematów w klasie siódmej, jednak wykorzystywane jest bardzo często na inny przedmiotach (głównie fizyka i chemia). Dlatego ważne jest aby opanować te umiejętność i dość sprawnie wyznaczać ze wzorów wybrane niewiadome. Przypomnę, że podstawą do dobrego zrozumienia i opanowania tego tematu jest umiejętność rozwiązywania równań metodą działań obustronnych. Jeśli masz obawy, ze nie zrozumiałeś powyższych treści radzę powrócić własnie do zadań z rozwiązywania równań. W razie czego chętnie będę odpowiadać na wiadomości w Librusie oraz oczywiście zapraszam na konsultacje (https://pierkwadrat.pl/konsultacje/) w wyznaczonych godzinach. Pamiętaj, aby zapowiedzieć wcześniej chęć uczestnictwa w konsultacjach.

Przypominam, że praca domową jest rozwiązanie pozostałych przykładów z zadania 7/211 b) c) d) f) g) i), wykonanie zdjęcia rozwiązań i wysłanie go na Librusie.

Pozdrawiam,
Marcin Kukiełka

Tagi .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.