Przekształcanie wzorów

Witam! Poprzednia lekcja z tego tematu polegała na samodzielnym przeanalizowaniu treści z podręcznika oraz wykonaniu kilku przykładów. Dostałem jednak kilka wiadomości z informacją, że niektórzy z Was nie zrozumieli w jaki sposób należy przekształcać wzory. Dlatego na dzisiejszej lekcji oprócz kontynuacji tematu wyjaśnię i zaprezentuję o co chodzi w przekształcaniu wzorów. Zapraszam.

Przekształcanie wzorów – jak i po co?

Jak zapewne wiesz wzór w matematyce opisuje pewna zależność między występującymi w nim wielkościami. Na przykład wzór na pole prostokąta zawiera zależność między wielkością pola a długościami jego boków i . Znając długości boków prostokąta, na przykład i możemy policzyć pole prostokąta .

Jednak w wielu zadaniach poleceniem będzie znaleść taką długość jednego z boków prostokąta, aby pole było równe wskazanej wartości. Przypatrz się bliżej poniższemu przykładowi:

Przykład 1
Jeden z boków prostokąta ma długość zaś jego pole wynosi . Oblicz długości pozostałych boków prostokąta.

Zauważ, że podstawiając pod wzór na pole prostokąta podane w zadaniu wartości otrzymujemy:

   

Wiesz już zapewne, że wyliczenie długości drugiego boku polegać będzie na wykonywaniu takich działań obustronnych aby po jednej stronie równania pozostała tylko nasza niewiadoma zaś po drugiej stronie cała reszta równania (w tym wypadku konkretna liczba).

W ten sposób obliczyliśmy wartośc niewiadomej przekształcając odpowiednio wzór. Podobna sytuacja miałaby miejsce w zadaniu o następującym poleceniu:

Przykład 2
Ze wzoru na pole prostokąta wyznacz niewiadomą .

Tym razem zamiast konkretnych wartości i mamy niewiadome, jednak całe zadanie nadal polega na wyznaczeniu ze wzoru wartości , zatem staramy się wykonywać takie działania obustronne, aby po jednej stronie równania pozostała sama niewiadoma zaś po drugiej cała reszta wzoru:

W ten sposób wyznaczyliśmy wartość ze wzoru na pole prostokąta. Zauważ, że w tym celu wykonywaliśmy obustronne dzielenie przez . Bardzo ważne w tym momencie jest zwrócić uwagę na to, że nie możemy dzielić przez , zatem podczas przekształcania wzoru ustalamy dodatkowe założenia:
Zał.
Na tym można zakończyć zadanie.

Przekształcanie wzorów – przykłady

W klasie siódmej zmagać się będziesz tylko ze wzorami, w których żądana do wyznaczenia niewiadoma występuje tylko w jednym miejscu równania. Wyznaczanie niewiadomych ze skomplikowanych wzorów, w których niewiadoma występuje w wielu miejscach równania wykonywane będzie na późniejszych etapach nauki.

Aby wyznaczyć niewiadoma z równania wykonujemy takie działania obustronne, aby odpowiednio przenosić na drugą stronę równania wszystkie niewiadome i liczby tak, aby po jednej stronie pozostała tylko żądana niewiadoma. Należy zwrócić uwagę na to, że działania te będziemy wykonywać począwszy od tych “najbardziej zewnętrznych” które występują w równaniu tak, aby “uwolnić” żądaną niewiadomą. Przyjrzyj się przykładowi:

Przykład 3
Ze wzoru wyznacz niewiadomą :

Uwalnianie niewiadomej zaczynamy od najbardziej “zewnętrznej” wartości z prawej strony równania, czyli od liczby :

– nawias jest wymnożony przez zatem wykonujemy działanie odwrotne do mnożenia, czyli dzielenie przez
– skoro wyrażenie występuje samo po prawej stronie równania możemy zapisać je bez nawiasów

Teraz najbardziej zewnętrzną wartością po prawej stronie równania jest niewiadoma – przeniesiemy ją na lewą stronę wykonując obustronne jej odejmowanie:

Teraz wystarczy podzielić obie strony równania przez liczbę, która stoi przy niewiadomej co daje nam:

W ten sposób wyznaczyliśmy ze wzoru wartość . Zauważ, że podczas przekształcania wzoru nie wykonywaliśmy nigdzie dzielenia przez niewiadome, dlatego nie musieliśmy wypisywać założeń co do zakazu dzielenia przez (tak jak to było w przykładzie 2).

Może zdarzyć się również sytuacja, że żądana niewiadoma występuje w mianowniku ułamka, aby się “do niej dostać” musimy obustronnie pomnożyć przez tę niewiadomą, wtedy pojawi się ona w liczniku ułamka po prawej stronie. Spójrz na przykład:

Przykład 4
Ze wzoru wyznacz niewiadomą :

Na początku zauważamy, że w mianowniku ułamka po prawej stronie znajdują się dwie wymnożone przez siebie niewiadome: oraz . Wartość mianownika nie może być równa zatem żaden z występujących w nim czynników nie może być równy . Oznacza to, że musimy wprowadzić odpowiednie założenia, mianowicie:
Zał. oraz
Dopiero teraz zajmiemy się przekształcaniem wzoru. Skoro żądana niewiadoma znajduje się w mianowniku ułamka po prawej stronie, możemy wymnożyć przez nią obie strony równania. Zniknie ona wtedy z prawej strony a pojawi się po lewej stronie równania – wymnożona przez znajdująca się tam niewiadomą . Wystarczy następnie usunąć z lewej strony niewiadomą poprzez obustronne dzielenie (pamiętając o założeniach, że dzieląc przez niewiadomą nie może być ona równa ). Całość przekształceń wygląda następująco:

– Zał.

– skoro dzielimy przez zatem niewiadoma pojawia się w mianowniku ułamka po prawej stronie równania

Przypatrzmy się teraz na przykłady z zadania 7 ze strony 211. Przykład bardzo podobny do podpunktu a) został już przeze mnie omówiony. Postaraj się teraz wykonać przykład a) samodzielnie, w razie problemów postępuj według wzoru z przykładu 3.

Zadanie 7/211

Pokażę teraz jak wykonać dwa inne przykłady, zaś Twoim zadaniem domowym będzie uporać się z pozostałymi sześcioma podpunktami.

e)

Prawa strona równania zawiera ułamek o mianowniku . Oznacza to, wartość tego wyrażenia nie może być równa . Oznacza to, że , ponieważ gdyby miało wartość wtedy w mianowniku ułamka mielibysmy wartość . Dlatego na początku przykładu zapisujemy konieczne założenia:

Zał.

Zauważmy, że nie możemy wymnożyć obu stron równania jedynie przez niewiadomą ale przez całe wyrażenie algebraiczne zawarte w mianowniku ułamka:

– Zał.

Otrzymaliśmy więc wyznaczona wartość .

h)

Rozpoczynamy uwalnianie niewiadomej od pozostałych wartości występujących po lewej stronie równania usuwając z niej najbardziej “zewnętrzne” wartości:

zauważ, że wartość po lewej stronie równania wymnożona jest zarówno przez liczbę jak i wyrażenie . Możemy za jednym zamachem przenieść oba te czynniki na prawa stronę dzieląc jednocześnie przez ich iloczyn: . Należy jednak pamiętać, że dzieląc przez wyrażenie , które zawiera niewiadomą, musimy wprowadzić konieczne założenia:
Zał. zatem
Po wykonaniu działania otrzymujemy ostateczny wynik:

.

Przekształcanie wzorów jest jednym z trudniejszych tematów w klasie siódmej, jednak wykorzystywane jest bardzo często na inny przedmiotach (głównie fizyka i chemia). Dlatego ważne jest aby opanować te umiejętność i dość sprawnie wyznaczać ze wzorów wybrane niewiadome. Przypomnę, że podstawą do dobrego zrozumienia i opanowania tego tematu jest umiejętność rozwiązywania równań metodą działań obustronnych. Jeśli masz obawy, ze nie zrozumiałeś powyższych treści radzę powrócić własnie do zadań z rozwiązywania równań. W razie czego chętnie będę odpowiadać na wiadomości w Librusie oraz oczywiście zapraszam na konsultacje (https://pierkwadrat.pl/konsultacje/) w wyznaczonych godzinach. Pamiętaj, aby zapowiedzieć wcześniej chęć uczestnictwa w konsultacjach.

Przypominam, że praca domową jest rozwiązanie pozostałych przykładów z zadania 7/211 b) c) d) f) g) i), wykonanie zdjęcia rozwiązań i wysłanie go na Librusie.

Pozdrawiam,
Marcin Kukiełka