Rozwiązywanie równań – cd

Witam! Na poprzednich lekcjach wprowadzaliśmy metodę równań równoważnych lub inaczej działań obustronnych rozwiązywania równań. Po dwóch lekcjach wraz z omówieniem oraz rozwiązaniem dużej ilości przykładów, powinieneś już wiedzieć w jaki sposób rozwiązywać proste równania z jedna niewiadomą. Dzisiaj chciałbym abyśmy skupili się na nieco trudniejszych przykładach, w których rozwiązanie opierać będzie się nie tyle na samej metodzie równań równoważnych, co na logicznym myśleniu i sprytnym wykorzystywaniu sytuacji pojawiających się w przykładach. Zapraszam.

Zacznijmy od rozwiązania kilku bardziej skomplikowanych równań. Omówmy przykłady z podręcznika:

Zadanie 10/195
g) \frac{3}{4}(2-3x)=-6

\frac{3}{4}(2-3x)=-6 |:\frac{3}{4}

Obie strony równania dzielimy przez ułamek \frac{3}{4} aby usunąć go z lewej strony równania

2-3x=-6:\frac{3}{4}
2-3x=-6\cdot\frac{4}{3}
2-3x=-8

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność, dlatego z prawej strony równania wystąpią następujące zmiany

2-3x=-8 |-2
-3x=-10 |:(-3)
x=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}

Następnie z lewej strony zabieramy liczbę 2 poprzez odjęcie jej od obu stron równania. Potem obie strony dzielimy przez -3 i otrzymujemy rozwiązanie.

Zadanie 12/195
d) \frac{2x+3}{5}=\frac{2-x}{3}+x

\frac{2x+3}{5}=\frac{2-x}{3}+x |\cdot15

\frac{15(2x+3)}{5}=\frac{15(2-x)}{3}+15x

3(2x+3)=5(2-x)+15x

W tym równaniu występują mianowniki 5 oraz 3 – dobrze byłoby więc najpierw się ich pozbyć. Zrobimy to mnożąc obie strony równania przez NWW(5,3) czyli przez 15

6x+9=10-5x+15x

6x+9=10+10x

Teraz możemy powymrażać i poupraszczać całe równanie

6x+9=10+10x |-6x

9=10+4x |-10

-1=4x

Przenosimy 6x na prawą stronę (odejmując obustronnie wyrażenia 6x), a następnie liczbę 10 na lewą stronę (odejmując 10 od obu stron równania).

-1=4x |:4

-\frac{1}{4}=x

Dzielimy obie strony przez liczbę stojącą przy x czyli przez 4 i otrzymujemy rozwiązanie.

Teraz rozwiążemy przykład, w którym wykorzystamy wiedzę z tematu “Mnożenie sum algebraicznych”.

Zadanie 13/195
d) 2x^2-(2x+1)(x-2)=5

2x^2-2x^2+4x-x+2=5

3x+2=5

Rozpoczynamy od wymnożenia przez siebie wszystkich sum algebraicznych, pamiętając o właściwym ustaleniu znaku dla każdego iloczynu. Następnie możemy zredukować wyrazy podobne.

3x+2=5 |-2

3x=3 |:3

x=1

Następnie odejmujemy obustronnie liczbę 2 (usuwamy ją z lewej strony równania), dzielimy obustronnie przez 3 i otrzymujemy rozwiązanie.

Teraz przyjrzyjmy się dokładniej równaniom, które pozornie wyglądają na dość trudne, jednak po chwili zastanowienia okazują się być bardzo proste.

Zadanie 16/196
b) (x+2)^3=1

Od razu zastrzegam, że podnoszenie wyrażenia x+2 do potęgi trzeciej byłoby najgorszym z możliwych kroków. Trzeba zastanowić się nad problemem:
“Jaką liczbę należy podnieść do trzeciej potęgi aby otrzymać wartość 1?”
Oczywiście będzie to liczba 1, zatem wyrażenie pod potęgą musi być równe 1:
x+2=1 |-2
x=-1

e) (x-1)(x+2)=0

W tym przykładzie wystarczy zauważyć, że iloczyn dwóch wyrażeń jest równy 0 wtedy gdy jedno z nich jest równe 0. Zatem rozwiązujemy jednocześnie dwa równania:

x-1=0 |+1

x=1

x+2=0 |-2

x-2

Równanie ma zatem dwa rozwiązania: x=1 oraz x-2.

Jako praca domowa proszę aby rozwiązać następujące przykłady w zeszycie lub na kartce, a następnie wysłać zdjęcie w module “zadanie domowe” na Librusie.

Zadanie 10/195 c) f)
Zadanie 12/195 b)
Zadanie 13/195 c)
Zadanie 16/196 a) d)

Na rozwiązanie tej pracy domowej będziesz mieć dwa dni.

Tagi .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.