Rozwiązywanie równań

Witam! Na poprzedniej lekcji (korzystając z podręcznika) dowiedziałeś się na czym polega rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych. Przećwiczyłeś również zdobyta wiedzę na kilku prostych przykładach. Dzisiaj chciałbym nieco podsumować treści z podręcznika oraz dopowiedzieć, trochę innymi słowami, na czym polega rozwiązywanie równań. Jeśli treści zapisane w podręczniku były dla Ciebie nie do końca zrozumiałe, to postaraj się uważnie przeczytać poniższy tekst. Jeśli jednak poprzednia lekcja nie sprawiła Ci większych trudności, to potraktuj dzisiejsza jako podsumowanie i utrwalenie wiadomości o rozwiązywaniu równań. Zapraszam.

Po co rozwiązujemy równania?

Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiej liczby lub takich liczb, które spełniają dane równanie. W prostszych równaniach, na przykład:
x+3=8 można łatwo odgadnąć wartość niewiadomej x. Jednak w matematyce możemy spotkać o wiele trudniejsze równania, do rozwiązania których wykorzystujemy tzw. metodę równań równoważnych (ja będę również nazywał ją metodą działań obustronnych).

Metoda równań równoważnych (lub tez działań obustronnych)

Głównym założeniem tej metody jest fakt, że jeśli w danym równaniu wykonamy jednocześnie na obu stronach równania te same działania, to otrzymujemy równanie równoważne danemu (czyli mające takie same rozwiązania). Działania, które będziemy w ten sposób wykonywać, pozwolą nam upraszczać równanie do tego stopnia, że otrzymamy bezpośrednio rozwiązanie równania. Rozwiązując równanie w pierwszej kolejności chcemy “przenieść” wszystkie niewiadome na jedną stronę równania, zaś liczby na drugą. Spójrz na poniższe przykłady:

Przykład 1.
Rozwiąż równanie: 3x+5=11

Zauważ, że po lewej stronie do wyrażenia 3x mamy dodaną liczbę 5. Jeśli od obu stron równania odjęlibyśmy te liczbę, to po lewej stronie zostałoby samo 3x zaś po prawej otrzymalibyśmy wynik 11-5=6. Zapisujemy to tak:

3x+5=11 |-5
3x=6

3x=6 |:3

Teraz, skoro po lewej stronie mamy 3x, to aby otrzymać jednego x wystarczy podzielić (obie strony) przez 3

x=2

otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie równania

Zauważ, że w powyższym przykładzie używałem znaku “|” aby zaznaczyć jakie działanie będę wykonywać w kolejnym kroku. Jest to bardzo ważne aby to robić, zarówno dla Ciebie żebyś “widział” jakie działanie wykonujesz, oraz dla mnie żebym sprawdzając “wiedział” jakie działanie chciałeś wykonać.

Przykład 2.
Rozwiąż równanie: 2m + 4 = 6m

W tym przykładzie niewiadoma m występuje po obu stronach równania. Musimy się więc zdecydować po której stronie chcemy aby znalazły się wszystkie wyrażenia zawierające m. Ja decyduję, aby zabrać 2m z lewej strony równania. Zabieranie (czyli odejmowanie) wykonujemy po obu stronach równania, ponieważ rozwiązując je stosujemy metodę działań obustronnych. Tak wyglądałoby pełne rozwiązanie równania:
2m + 4 = 6m |-2m
4=4m |:4
1=m.

Nie tyle błędem, co utrudnieniem, może być umieszczanie niewiadomych tylko po lewej stronie. Spójrz, co by było, gdybym uparcie do tego dążył w powyższym przykładzie:

2m + 4 = 6m |-6m

skoro niewiadome chcę mieć po lewej stronie, to muszę usunąć je z prawej strony równania

-4m + 4 = 0 |-4

teraz zabieram liczbę 4 z lewej strony równania

-4m=-4 |:(-4)

dzielę obie strony równania przez liczbę, przez którą wymnożone jest m po lewej stronie

m=1.

otrzymuję to samo rozwiązanie, ale nieco trudniejsza drogą.

Rozwiązując równanie starajmy się więc przewidywać jakie konsekwencje wywoła wykonanie danej operacji.

Przykład 3.
Rozwiąż równanie: \frac{3x-3}{4}=3

\frac{3x-3}{4}=3 |\cdot4

skoro po lewej stronie wyrażenie zawierające x jest podzielone przez 4, wykonajmy najpierw obustronne mnożenie przez 4

3x-3=12 |+3

po lewej stronie mamy liczbę -3. Aby ją stamtąd usunąć wykonujemy działanie +3 – oczywiście po obu stronach

3x=15 |:3
x=5.

teraz wystarczy podzielić obie strony przez 3

Mam nadzieję, że w powyższym przykładzie zauważyłeś w jakiej kolejności wykonuje działania obustronne. Jest to kolejność całkowicie odwrotne to kolejności wykonywania działań po lewej stronie równania. Taka sytuacja ma jednak miejsce tylko wtedy, gdy niewiadoma występuje w równaniu tylko w jednym miejscu. Spójrz:

Przykład 4.
Rozwiąż równanie: \frac{\frac{4x-3}{3}+5}{2}=4

Zauważ, że niewiadoma x występuje w równaniu tylko w jednym miejscu: po lewej stronie. Jaka byłaby kolejność wykonywania działań, gdybyśmy chcieli policzyć wartość wyrażenia po lewej stronie?
1) \cdot4
2) -3
3) :3
4) +5
5) :2

Aby rozwiązać równanie wykonujemy działania do nich przeciwne w całkowicie odwrotnej kolejności:
5) \cdot2
4) -5
3) \cdot3
2) +3
1) :4

Rozwiązanie wyglądałoby wtedy tak:
\frac{\frac{4x-3}{3}+5}{2}=4 |\cdot2
\frac{4x-3}{3}+5=8 |-5
\frac{4x-3}{3}=3 |\cdot3
4x-3=9 |+3
4x=12 |:4
x=3.

W tym momencie chciałbym abyś zastanowił się czy masz jakieś pytania. Jeśli tak, to napisz je w komentarzu pod lekcją. Będę starał się odpowiadać na nie przez cały dzień. Na jutrzejszej lekcji postaram się omówić kilka najtrudniejszych zadań z tego tematu.

Pracą domową będzie rozwiązanie na kartce poniższych zadań:
Zad. 3/194 bd); 5/194 b); 6/194 ab)
oraz wysłanie jej zdjęcia lub skanu za pomocą modułu “zadanie domowe” na Librusie.

Na rozwiązania czekam do godziny 20:00.

Pozdrawiam,
Marcin Kukiełka

Tagi .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.