Szacowanie wyników działań na ułamkach dziesiętnych

Witam! Na poprzedniej lekcji prosiłem abyś przeczytał powyższy temat z podręcznika i postarał się zrozumieć w jaki sposób należy szacować wyniki działań opartych na ułamkach dziesiętnych. Samo szacowanie wyników wydaje się być całkiem proste. Kiedy musimy określić czy wynik działania jest większy lub mniejszy od konkretnej liczby, wtedy może okazać się to nieco trudniejsze. Zapewne doświadczyłeś już tych trudności wykonując zadane do poprzedniej lekcji przykłady. Na dzisiejszej lekcji postaram się dokładniej wyjaśnić i ewentualnie uzupełnić niektóre treści oraz podam przykładowe rozwiązania do niektórych zadań. Zapraszam!

Po co i jak szacujemy?

Przede wszystkim przypomnijmy, że szacowanie i zaokrąglanie wyników działań to dwie całkowicie inne czynności. Szacowanie polega na przyrównaniu wyniku działania do konkretnej liczby i określeniu czy dany wynik jest większy, mniejszy czy równy żądanej wartości. Z kolei przybliżanie polega na określeniu ile mniej więcej wynosi wynik działania. Tę różnice najlepiej zobrazują poniższe dwa przykłady:

Przykład 1a
Adam wydał w sklepie $2,5$ zł na drożdżówki, $3,8$ zł na sok oraz $2,75$ zł na banany. Oszacuj czy $10$ zł wystarczyło Adamowi na zakup wszystkich produktów.

Przykład 1b
Adam wydał w sklepie $2,5$ zł na drożdżówki, $3,8$ zł na sok oraz $2,75$ zł na banany. Zaokrąglij do pełnych złotych ile Adam wydał na wszystkie produkty.

Widzisz zapewne, że w pierwszym przykładzie musimy porównać wydatki Adama do konkretnej wartości $10$ zł, zaś w drugim musimy po prostu podać ile mniej więcej złotych Adam wydał w sklepie. Dlatego ważne jest aby nie ozywać zamiennie tych dwóch wyrażeń: szacowanie i zaokrąglanie.

Dzisiejsza lekcja będzie dotyczyć zadań podobnych do pierwszego przykładu.

Szacowanie wykonujemy głównie po to aby określić czy wynik danego działania przekracza określoną wartość czy nie bez obliczania dokładnej wartości działania. Najczęściej możemy spotkać się z wykorzystaniem szacowania podczas zakupów w sklepie. Mając do wydania określoną kwotę, na przykład 100 złotych, wkładamy do koszyka kolejne produkty i szacujemy czy suma ich wartości przekroczyła już limit ustalonych wydatków czy jeszcze nie. Bezpiecznym podejściem w tej sytuacji będzie zawyżanie cen produktów podczas szacowania, na przykład do pełnych złotych (np. wartość makaronu za 2,79 zł zaliczymy jako 3 zł). Wtedy będziemy mieć pewność, że otrzymany paragon opiewać będzie na kwotę niższą niż limit 100 złotych (ponieważ dla każdego produktu daliśmy lekki “zapas” kilku-kilkudziesięciu groszy).

Podobna sytuacja może mieć miejsce, jeśli ustalamy pewien dolny limit wydatków. Na przykład planując budżet na kolejny miesiąc ustalamy, że chcielibyśmy odłożyć do skarbonki minimum 50 zł (mamy w zwyczaju wkładać do niej co tydzień pewną ilość pieniędzy). Jeśli chcemy oszacować czy w ciągu czterech tygodni udało nam się odłożyć więcej niż 50 złotych wystarczy każdą z wrzucanych do skarbonki kwot pieniędzy lekko obniżyć, na przykład do pełnych złotych. Wtedy dodając do siebie te “zaniżone” wartości i otrzymując wynik większy od 50 złotych możemy miec pewność, że w skarbonce mamy więcej niż 50 złotych. Spójrz na przykład.

Przykład 2
Ela co tydzień odkłada do skarbonki pewną ilość pieniędzy:
I tydzień – 12,84 zł
II tydzień – 18,25 zł
III tydzień – 8,78 zł
IV tydzień – 13,27 zł
Oszacuj czy w ciągu całego miesiąca odłożyła więcej niż $50$ złotych.

Każdą z odłożonych kwot lekko pomniejszamy do pełnych złotych, tak aby było łatwiej je do siebie dodawać:
$12,84\longrightarrow12$ [zł]
$18,25\longrightarrow18$ [zł]
$8,78\longrightarrow8$ [zł]
$13,27\longrightarrow13$ [zł]
Teraz możemy je do siebie dodać:
$12+18+8+13=51$ złotych
i zauważyć, że otrzymaliśmy wynik większy niż $50$ zł, i to w dodatku sumując kwoty nieco mniejsze niż rzeczywiście odłożone do skarbonki.

Podobnie postępujemy w sytuacjach, gdy chcemy oszacować wynik mnożenia lub dzielenia. Ogólną zasadę szacowania wyników działań możemy przedstawić w następujący sposób:

Jeśli chcemy oszacować czy wynik działania jest większy od danej wartości, wykonujemy to działanie na liczbach nieco pomniejszonych
Jeśli chcemy oszacować czy wynik działania jest mniejszy od danej wartości, wykonujemy to działanie na liczbach nieco powiększonych

Przykłady

Przyjrzyjmy się teraz konkretnych przykładom.

Zadanie 3/170

b) Zauważ, że w tym przykładzie nie mamy odgórnie określone czy wynik działania ma być większy czy mniejszy niż $11$ . Musimy oszacować go samodzielnie.
W tym przypadku dobrym pomysłem byłoby obie wartości pomniejszyć tak, aby kwoty zawierały na końcu “0,5” , czyli:
$4,73\longrightarrow4,5$
$6,98\longrightarrow6,5$
Teraz dodając do siebie pomniejszone wartości otrzymujemy:
$4,5+6,5=11$
Skoro dodanie wartości nieco mniejszych niż rzeczywiste spowodowało otrzymanie wyniku równego $11$ , zatem dodając wartości dokładne otrzymalibyśmy na pewno więcej niż $11$ , zatem:
$4,73+6,98>11$ .

c) W tym przypadku przyda nam się znajomość tabliczki mnożenia. Łatwo można zauważyć, że mnożąc przez siebie $8\cdot7$ otrzymujemy wynik $56$ czyli więcej niż $50$ . Stąd mnożąc liczby większe niż $8$ i $7$ również otrzymamy wynik na pewno większy niż 50, czyli
$8,3\cdot7,85>50$ .

Rozwiążmy wspólnie jeszcze jedno zadanie. Postaraj się najpierw wykonać je samodzielnie, a kiedy już otrzymasz wynik porównaj go z rozwiązaniem poniżej.

Zadanie 4/170

Rozwiązanie:

Skoro wszystkich spinaczy było $59$ zaś długość każdego z nich w łańcuszku wynosiła $3,7$ cm, to długość łańcuszka obliczymy za pomocą działania:
$59\cdot3,7[cm]$
Oczywiście nie chcemy obliczać dokładnej długości otrzymanego łańcuszka ale przyrównać czyli oszacować jego długość do $2,4$ metra.
Możemy zobaczyć co by się stało, gdyby zwiększyć o jeden ilość spinaczy (czyli zamiast $59$ mielibyśmy $60$ spinaczy w łańcuszku), oraz gdybyśmy zwiększyli długość każdego z nich (na przykład do $4$ cm). Wtedy długość takiego łańcuszka wyniosłaby:
$60\cdot4[cm]=240[cm]=2,4[m]$ .
Oznacz to, że skoro Leszek dysponuje mniejszą ilością spinaczy i to o krótszej długości, łańcuszek z nich zbudowany będzie mieć mniej niż $2,4$ metra.