Ułamki zwykłe cz. 1

W matematyce, jak i w życiu codziennym, nie zawsze operujemy liczbami naturalnymi (czyli 0, 1, 2, 3, 4 itd.). Nie musimy przecież zawsze zjeść całej pizzy, nie musimy kupować dokładnie pięć kilogramów ziemniaków ani wydawać całej skarbonki naszych oszczędności. Dlatego, aby wyrazić wartości “niepełne” stosujemy ułamki. Możliwe, że już się z nimi spotkałeś: uczyłeś się o nich lub po prostu zauważyłeś w sklepie, na opakowaniach produktów. Możliwe, że ktoś w Twojej obecności użył sformułowania “O ułamek sekundy!” komentując na przykład bardzo niewielką różnicę w czasach uzyskanych przez biegaczy na olimpiadzie. Ułamki są stosowane praktycznie w każdej dziedzinie życia, warto je poznać oraz nauczyć się je wykorzystywać.

Ułamki możemy zapisywać na dwa sposoby: w postaci ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego. Na początku poznamy ułamki zwykłe.

Ułamek jako część całości

Załóżmy, że kupujesz pizze podzieloną na osiem równych kawałków. Jeżeli zjadłbyś kilka z nich, na przykład pięć, to wtedy zjadłbyś pewną część pizzy. Konkretnie pięć kawałków z ośmiu. Sytuację ilustruje rysunek (kawałki zjedzone to te czerwone):

Część pizzy, którą zjadłeś, można zapisać w postaci ułamka zwykłego w ten sposób:

   

oraz odczytać jako “pięć ósmych”.

Ułamek zwykły składa się z dwóch liczb zapisanych jedna nad drugą oddzielonych linią, tzw. kreską ułamkową. Liczba pod kreską to mianownik – informuje nas o tym na ile równych części podzielona została całość (w naszym przypadku pizza została podzielona na osiem kawałków, zatem mianownik jest równy 8). Nad kreską ułamkową znajduje się licznik – zapisujemy tam ilość części, które bierzemy (zjadłeś pięć kawałków pizzy, więc licznik jest równy 5).

W ten sposób jesteśmy w stanie opisać inne sytuacje, na przykład:
Blacha ciasta została podzielona na szesnaście równych kawałków, zaś Ty chcesz kupić dokładnie siedem z nich. Możesz zilustrować to w ten sposób:

Jaką część ciasta kupiłeś? Oczywiście jest to

   

(czytaj: “siedem szesnastych”) czyli siedem kawałków z szesnastu.

Przećwiczmy również odczytywanie ułamków:

– “dwie trzecie” (czyli dwie części z trzech)

– “pięć dziewiątych” (czyli pięć części z dziewięciu)

Ułamki zwykłe mogą posłużyć nam również do przedstawienia w bardzo prosty sposób wyników dzielenia nawet bardzo skomplikowanych liczb.

Ułamek jako iloraz (czyli wynik dzielenia)

Wyobraź sobie, że ktoś zadaje Ci pytanie: Mam 3 drożdżówki, a chcę je rozdzielić pomiędzy 4 osoby. Ile dostanie każda osoba? Odpowiedź wydaje się być trudna jednak posługując się ułamkiem zwykłym możemy udzielić jej w bardzo prosty sposób:
Skoro mam 3 drożdżówki i chcę je rozdzielić równo między 4 osoby, to muszę wykonać dzielenie

   

Okazuje się, że wynik dzielenia można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, w którym licznik ma wartość dzielnej, zaś mianownik ma wartość dzielnika w działaniu, które wykonujemy. Będzie to wyglądać następująco:

   

więc każda z osób dostanie (czyt. “trzy czwarte”) drożdżówki (czyli muszę każdą z drożdżówek podzielić na cztery równe cześć i każdej osobie dać po trzy części).

Jak widać w powyższym przykładzie zapisanie wyniku dzielenia sprowadza się do zwykłego przepisania odpowiednich liczb w miejsce licznika i mianownika. Ważne, aby nie pomylić kolejności. Można posłużyć się następującym skojarzeniem nawiązującym do poprzednio omawianych treści:
“Licznik odpowiada za to ile biorę części (biorę 3 drożdżówki), a mianownik informuje o tym na ile części podzielono całość (drożdżówki dzielę na 4 osoby)”

Spójrz, jakie proste staje się dzielenie przez siebie coraz to większych liczb:

• (czyt. “pięć dziewiątych”)
• (czyt. “dwanaście piętnastych”)
• (czyt. dwadzieścia trzy czwarte)

Mam nadzieję, że zwróciłeś uwagę na ostatni z zapisanych przykładów: ułamek ma licznik dużo większy niż mianownik. Przypomnijmy sobie o czym mówią nam te liczby:
Mianownik (4) informuje nas o tym, że całość została podzielona na cztery równe kawałki, zaś licznik (23) o tym, że bierzemy 23 takie kawałki.
Jak to sobie wyobrazić? Bardzo łatwo – przed nami leży talerz z pączkami. Każdy z nich (jeden pączek jest jedna całością) jest podzielony na 4 równe części (np. po to aby łatwiej włożyć ją do ust). Zjadamy 23 takie części. Proste?
Oczywiście w ten sposób zjemy więcej niż jednego pączka – a to stawia przed nami pytanie: Ile pączków zjemy? (Spróbuj odpowiedzieć na nie sam, zanim zaczniesz czytać dalej).

Ułamki zwykłe i liczby mieszane

Jaki wynik otrzymałeś? Prawdopodobnie Twoim wynikiem jest liczba 5 lub 6. Możemy nieco doprecyzować wynik mówiąc, że zjemy trochę więcej niż 5 pączków i jednocześnie trochę mniej niż 6 pączków. Ale wynik może być jeszcze dokładniejszy.
Otóż jeśli każde cztery kawałki dają nam w sumie jednego pączka, to z 23 kawałków można ułożyć 5 takich “czterokawałkowych” pączków, na co zużyjemy takich kawałków. Z pozostałych trzech kawałków nie ułożymy całego pączka – potrzebowalibyśmy na to jeszcze jednego kawałka. Jednak wiemy już, że te trzy kawałki będą stanowiły pączka (przypominam: pączek dzielony na 4 części, zjadamy 3 z nich). Zatem odpowiedź to:
“Zjemy 5 pączków i jeszcze pączka.”

Ułamek , który przed chwilą rozważaliśmy, zaliczany jest do grupy tzw. ułamków niewłaściwych – czyli takich, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi. Innymi przykładami ułamków niewłaściwych mogą być:
, , czy .

Z kolei ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika, nazywany jest ułamkiem właściwym (takie ułamki rozważaliśmy na początku tego artykułu).

Ułamki niewłaściwe możemy przekształcać w liczby mieszane. Zrobiliśmy to udzielając odpowiedzi: Zjemy 5 i pączka (choć poprawny zapis to po prostu – czyli bez słowa “i” ). Otrzymany wynik jest właśnie liczbą mieszaną, czyli taką w której całość została wydzielona od ułamka. W tym przykładzie:

   

Odczytujemy go jako “pięć i trzy czwarte”. Większa liczba po lewej (5) oznacza ilość całości mieszczących się w ułamku (nazywana jest częścią całkowitą), natomiast ułamek stoi na tzw. części ułamkowej. Ważne jest to, że ułamek stojący w części ułamkowej powinien być ułamkiem właściwym (czyli takim, w którym licznik jest mniejszy od mianownika).

W jaki sposób zamieniać ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną? Można posłużyć się następującym sposobem:
Zamieńmy ułamek na liczbę mieszaną. Zastanówmy się najpierw ile całości można wydzielić z 27 kawałków, przyjmując że jedną całość tworzy 6 kawałków. W tym celu obliczamy ile mianowników (6) mieści się w liczniku (27), wykonujemy więc dzielenie z resztą:

   

Otrzymujemy więc 4 całości i 3 kawałki z sześciu czyli , co odczytujemy “cztery i trzy szóste”.

Istnieje również inny sposób, przyjrzyj się dobrze schematowi i postaraj się zrozumieć o co w nim chodzi:

   

Odczytaj wartości poniższych liczb mieszanych:

– “dwa i trzy czwarte”
– “cztery i pięć dziewiątych”
– “siedemnaście i dwie dwudzieste trzecie”

A teraz postaraj się samodzielnie zamienić podane ułamki na liczby mieszane:

Na przykładzie zamiany ułamka prześledźmy tok rozumowania, jaki można przeprowadzić podczas jego zamiany na liczbę mieszaną:

1. Mianownik w liczbie mieszanej będzie taki sam jak mianownik w ułamku niewłaściwym czyli 5
2. Ile piątek mieści się w czternastu? Odp. 2 – będzie to liczba całości
3. Te dwie piątki dają razem 10 – ponieważ
4. Od dziesięciu do czternastu brakuje nam jeszcze 4 (ponieważ ) – będzie to wartość licznika części ułamkowej
5. Zapisujemy ostateczną postać liczby mieszanej:

Ułamki i liczby mieszane na osi liczbowej