Ułamki zwykłe cz. 2

W tym rozdziale omówię jak oznacza się ułamki zwykłe i liczby mieszane na osi liczbowej, przedstawię jak skracamy i rozszerzamy ułamki zwykłe oraz w jaki sposób można porównywać ułamki zwykłe. Jeżeli nie zapoznałeś się jeszcze z poprzednią częścią lekcji, kliknij tutaj, poczytaj, a dopiero potem wróć do tej części.

---

Ułamki i liczby mieszane na osi liczbowej

Ułamki, tak jak i liczby całkowite, mają swoje miejsce na osi liczbowej. Dlatego ważne jest aby zrozumieć zasadę ich zaznaczania na osi, a to będzie możliwe jeśli dobrze zrozumiemy znaczenie licznika, mianownika w ułamku zwykłym. (Przypomnienie: mianownik odpowiada za to na ile części podzielona jest całość/jednostka zaś licznik mówi o tym ile tych części bierzemy). Dlatego aby zaznaczyć ułamek (na przykład ułamek ) na osi liczbowej musimy wykonać następujące czynności:
1. Jeżeli ułamek jest niewłaściwy (mianownik mniejszy od licznika) to zamieniamy go na liczbę mieszaną czyli wyliczamy ile całości mieści się w ułamku – u nas
2. Na osi liczbowej ustalamy wstępnie położenie ułamka (będzie się on znajdować między wyznaczoną liczba całości a liczba o jeden większą) czyli w naszym przypadku pomiędzy liczbą a .
3. Wyznaczony przedział dzielimy na tyle części, ile wynosi mianownik ułamka. U nas mianownik wynosi zatem przedział między liczbami a dzielimy na 5 części (stawiając cztery kreseczki w równych odstępach).
4. Od liczby całości przechodzimy o tyle części w prawo na ile wskazuje licznik ułamka – czyli o . Położenie ułamka na osi liczbowej przedstawia poniższy rysunek:

Poniżej zaznaczono kilka innych ułamków:
,
,
,
.

Skracanie i rozszerzanie ułamków

Skracanie/rozszerzanie ułamków polega na jednoczesnym dzieleniu/mnożeniu licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę. Ułamek, którego nie można skrócić, nazywamy nieskracalnym.

a) skracanie

Skróć ułamek:

W powyższym przykładzie ułamek posiada licznik oraz mianownik podzielne jednocześnie przez 2. Dzieląc licznik i mianownik przez otrzymujemy ułamek . Licznik i mianownik tak powstałego ułamka można podzielić również przez , otrzymamy zatem . Ułamek ten jest nieskracalny, ponieważ dla liczb i (licznik i mianownik) nie ma wspólnego dzielnika.

Skracając liczbę mieszaną nie ma potrzeby zamieniać jej uprzednio na ułamek niewłaściwy. Skracaniem obejmujemy zatem jedynie część ułamkową – w powyższym przykładzie najpierw dzielimy jej licznik i mianownik przez i następnie również przez .

b) rozszerzanie

Rozszerz ułamek do ułamka o mianowniku 30:

Zastanówmy się najpierw przez jaką liczbę należałoby wymnożyć mianownik ułamka aby otrzymać wartość ? Wynikiem będzie . Zatem również przez liczbę należy wymnożyć licznik ułamka, otrzymujemy zatem

Rozszerz ułamek do ułamka o liczniku :

Przy rozszerzaniu liczb mieszanych nie musimy zamieniać ich wcześniej na ułamki niewłaściwe. Części całkowite pozostają takie same, skupmy się zatem na części ułamkowej.
Licznik musimy wymnożyć przez aby otrzymać żądaną wartość . Zatem również mianownik mnożymy przez i otrzymujemy w ten sposób wartość .

c) sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika polega na takim rozszerzeniu wszystkich ułamków lub przynajmniej jednego z nich, aby ich mianowniki były takie same. Mamy na to dwa sposoby, przedstawię je na przykładzie ułamków oraz , które sprowadzimy do wspólnego mianownika:

A: Sposób pierwszy (pozornie łatwiejszy)
Najpierw ustalmy wartość wspólnego mianownika mnożąc przez siebie mianowniki obu ułamków – . Następnie licznik każdego z ułamków mnożymy przez mianownik drugiego ułamka – w ten sposób otrzymujemy liczniki ułamków sprowadzonych do wspólnego mianownika. Wygląda to następująco:
i i i

B: Sposób drugi (pozornie trudniejszy)
Najpierw skracamy (jeżeli to możliwe) oba ułamki. Pierwszy z nich jest nieskracalny, ale drugi można skrócić przez w następujący sposób: . Następnie ustalamy wartość wspólnego mianownika obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność (NWW) obu mianowników – . Na koniec rozszerzamy oba ułamki do ułamka o ustalonym mianowniku równym . Okazuje się, że pierwszy z nich ma już mianownik o takiej wartości, zatem pozostawiamy go bez zmiany. Rozszerzanie ułamka do ułamka o mianowniku będzie polegało na pomnożeniu jego licznika i mianownika przez , zatem otrzymamy . Zatem sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki i otrzymamy oraz

Oba powyższe sposoby całkiem nieprzypadkowo opatrzyłem słowem “pozornie” łatwiejszy/trudniejszy. Dlaczego pierwszy sposób jest tylko “pozornie” łatwiejszy? Ponieważ wykonujemy w nim mniej operacji, jednak okazują się być one trudniejsze z powodu występujących w nich większych liczb. Ponadto otrzymane ułamki mogą nadal zostać skrócone, co wcale nie będzie takie proste jak skrócenie ułamków na początku drugiego sposobu. Własnie drugi sposób, mimo konieczności wykonania większej ilości operacji, okazuje sie być dla nas korzystniejszy. Po pierwsze skracamy oba ułamki już na początku, kiedy to ich liczniki i mianowniki są nieduże i łatwo jest to zrobić. Po drugie ustalenie wspólnego mianownika obliczając NWW powoduje otrzymanie najmniejszej z możliwych jego wartości – a im mniejszymi liczbami operujemy, tym jest nam łatwiej. Po trzecie okazuje się, że często będziemy musieli przekształcać (rozszerzać) tylko jeden z ułamków – tak jak to było w naszym przykładzie ułamek w ogóle nie zmienił swojej postaci.
Poza tym sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika będziemy wykonywać w celu wykonania innych operacji oraz działań na ułamkach, dlatego ważne jest aby otrzymać ułamki nieskracalne, o jak najmniejszych wartościach liczników i mianowników – to również zapewni drugi sposób.

Porównywanie ułamków

Porównując ułamki będziemy kierować się czterema zasadami:

1. Jeżeli dwa ułamki są liczbami mieszanymi czyli mają wyłączone całości (np. oraz ) większy jest ten, który ma większą część całkowitą – dla powyższych ułamków .

2. Porównując dwa ułamki o równych mianownikach większy jest ten, który ma większy licznik – np.

3. Porównując dwa ułamki o równych licznikach większy jest ten, który ma mniejszy mianownik – np.

4. Porównując ułamki o różnych licznikach i mianownikach najlepiej jest najpierw sprowadzić je do ułamków o wspólnym mianowniku, a następnie porównać zgodnie ze schematem z podpunktu 2.