Ułamki zwykłe cz. 3

W tym rozdziale omówimy wszystkie cztery działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) na ułamkach zwykłych. Bardzo ważne jest abyś wcześniej dobrze opanował i przypomniał sobie zagadnienia z poprzednich części dotyczacych informacji wstępnych oraz operacji na ułamkach zwykłych:

Ułamki zwykłe cz. 1

Ułamki zwykłe cz. 2

Działania na ułamkach zwykłych w naturalny sposób można podzielić na dwie grupy. Pierwszą z nich tworzą dodawanie oraz odejmowanie ułamków, drugą zaś mnożenie i dzielenie (do tej grupy zaliczymy równiez potęgowanie, gdyż wykonujemy je bardzo podobnie do mnożenia). Omówmy najpierw pierwszą grupę działań.

I. Dodawanie i odejmowanie ułamków

Dodając lub odejmując od siebie ułamki będzie nam zależało aby miały one takie same mianowniki. Jeżeli od początku mamy ułamki o równych mianownikach, możemy od razu przejśc do ustalania wyniku – dodajemy lub odejmujemy od siebie liczniki ułamków i zapisujemy w miejsce licznika ułamka będącego wynikiem działania. Mianownik zaś przepisujemy bez zmiany w niejsce mianownika ułamka bedącego wynikiem. Np.

    \[\frac{4}{9}+\frac{7}{9}=\frac{4+7}{9}= \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}\]

.

    \[\frac{7}{12}-\frac{4}{12}=\frac{7-4}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\]

.

Należy pamiętać o tym, aby ułamek będący wynikiem działania przedstawić w postaci liczby mieszanej (wyłączyć całości) oraz w postaci ułamka nieskracalnego (skrócić jeżeli to możliwe).

W przypadku ułamków o rożnych mianownikach najpierw musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika (przypominam, że mamy na to dwa sposoby – patrz “Ułamki zwykłe cz. 2”). Następnie ustalamy wyniki działań analogicznie do poprzednich przykładów, np.:

    \[\frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{3\cdot5}{20}+\frac{2\cdot4}{20}= \frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{15+8}{20}=\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}\]

.

    \[\frac{3}{5}-\frac{2}{7}=\frac{3\cdot7}{35}-\frac{2\cdot5}{35}= \frac{21}{35}-\frac{10}{35}=\frac{21-10}{35}=\frac{11}{35}\]

.

Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych polega na dodaniu osobno części całkowitych i osobno części ułamkowych obu liczb. Oczywiście dodając części ułamkowe będzie nam zależało na ich wspólnym mianowniku, ustalamy go tak samo jak w poprzednich przykładach:

    \[2\frac{2}{3}+3\frac{3}{5}=2\frac{10}{15}+3\frac{9}{15}=5\frac{10+9}{15}=5\frac{19}{15}=6\frac{4}{15}\]

.

    \[4\frac{3}{5}-1\frac{1}{6}=4\frac{18}{30}-1\frac{5}{30}=3\frac{18-5}{30}=3\frac{13}{30}\]

.

Oczywiście nadal otrzymany wynik powinien być ułamkiem nieskracalnym oraz ułamkiem właściwym – w tym celu, jeżeli to możliwe, skracamy części ułamkową otrzymanego wyniku oraz wyłączamy z niej całości.

Czasem jednak możemy natrafić na pewne problemy w przypadku odejmowania. Rozważmy następujący przykład:

    \[2\frac{2}{5}-1\frac{3}{4}=2\frac{8}{20}-1\frac{15}{20}=1\frac{8-15}{20}...\]

– coś tu nie gra z licznikiem 8-15

Okazuje się, że nie możemy odjąć od siebie liczników takich ułamków – otrzymalibyśmy liczbę ujemną. Jednak samo odejmowanie ułamków jest jak najbardziej wykonalne. Należy postąpić tak:

1. Z pierwszego ułamka ( 2\frac{8}{20} ) “przenosimy” jedną całość do licznika jego części ułamkowej. Skoro jej mianownik wynosi 20 zatem jedna całość składa się z dwudziestu części – dlatego do obecnego licznika równego 8 dodajemy własnie 20, zaś z części całkowitej zabieramy jedną całość:

    \[2\frac{8}{20}=1\frac{8+20}{20}=1\frac{28}{20}\]


2. Tak przekształcony ułamek możemy wstawić do naszego działania, które będzie wyglądać teraz tak:

    \[2\frac{2}{5}-1\frac{3}{4}=2\frac{8}{20}-1\frac{15}{20}= 1\frac{28}{20}-1\frac{15}{20}=\frac{13}{20}\]

.

Jeżeli okaże się, że przeniesienie jednej całości do licznika nie umożliwi nam wykonania odejmowania (nadal będziemy odejmować licznik większy od mniejszego) wtedy przenosimy do licznika jeszcze jedną całość, i tak dalej aż do skutku…

II. Mnożenie (i potęgowanie) i dzielenie ułamków

Omówmy najpierw mnożenie ułamków. Kierujemy się prostą zasadą – aby pomnożyć przez siebie dwa ułamki zwykłe, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Możemy zapisać to za pomocą następującego schematu:

    \[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\]


Na przykład:

    \[\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]


Otrzymujemy w wyniku ułamek \frac{6}{20}, który można skrócić do ułamka \frac{3}{10}. Okazuje się jednak, że skracanie można wykonać na wcześniejszym etapie obliczeń, mianowicie przed samym wymnożeniem ułamków – spójrz:

    \[\frac{3}{\not4_2}\cdot\frac{\not2^1}{5}=\frac{3}{10}.\]


Przy skracaniu podczas mnożenie mamy zasadę:
“Skracamy licznik z mianownikiem”
Zasada ta obowiązuje zarówno w obrębie jednego ułamka, jak również dwóch i więcej ułamków, np. licznik pierwszego ułamka można skrócić z mianownikiem drugiego itp.

Skracanie ułamków przed ich wymnożeniem może znacząco ułatwić nam późniejsze obliczenia, głownie dlatego że upraszczamy ułamki poprzez zmniejszenie liczb, które w nich występują. Łatwiej bowiem jest wykonywać działania na mniejszych liczbach.

Co dzieje się w sytuacji, gdy w mnożeniu występują liczby mieszane? Otóż najpierw należy zamienić je na ułamki niewłaściwe, a dopiero wtedy wykonac mnożenie, np:

    \[2\frac{1}{2}\cdot 3\frac{2}{3}=\frac{5}{2}\cdot \frac{11}{3} = \frac{5\cdot11}{2\cdot3}=\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}.\]


Oczywiście pamiętamy o ewentualnym skracaniu ułamków oraz wyłączaniu całości z ułamka jeżeli to tylko możliwe.

Ostatnim przypadkiem będzie mnożenie ułamka przez liczbę naturalną. Należy pamiętać przy tym, że każda liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka zwykłego, np. 3=\frac{3}{1}, 8=\frac{8}{1} itd.
Zatem w przykładzie:

    \[5\cdot 2\frac{3}{4}=\frac{5}{1}\cdot \frac{11}{4}=\frac{5\cdot11}{1\cdot4}=\frac{55}{4}=13\frac{3}{4}.\]


Zauważ jednak, że mnożenie mianownika przez 1 oraz w ogóle zapisywanie w nim tej jedynki nie zmienia wartości wyniku. Dlatego uznajemy, że zapis mnożenia liczby przez ułamek można uprościć i zapisać tak:

    \[5\cdot 2\frac{3}{4}=5 \cdot \frac{11}{4}=\frac{5\cdot11}{4}=\frac{55}{4}=13\frac{3}{4}.\]


Otrzymujemy więc kolejną zasadę, mianowicie:
“Mnożąc liczbę naturalną przez ułamek, mnożymy ją przez licznik ułamka, zaś jego mianownik pozostawiamy bez zmian.”

Mówiąc o mnożeniu możemy jednocześnie wspomnieć o potęgowaniu ułamków. Przypomnijmy, że potęgowanie liczby polega na wielokrotnym wymnożeniu jej przez samą siebie. Możemy zapisać to w następujący sposób:

    \[a^2=a\cdot a\]


    \[a^3=a\cdot a \cdot a\]

itd.
Zatem potęgując ułamki, będziemy wielokrotnie mnożyć je przez siebie, np.:

    \[\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2}{3\cdot3}=\frac{4}{9}.\]


Zauważmy jednak, że podnosząc do potęgi ułamek, tak na prawdę podnosimy do potęgi oddzielnie jego licznik i mianownik. Dlatego Powyższy zapis można przedstawić następująco:

    \[\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}.\]

Co w sytuacji, gdy chcemy podnieść do potęgi liczbę mieszaną? Pewnie już sie domyślasz – zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy. Oto przykład:

    \[\left(1\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{5}{3}\right)^3=\frac{5^3}{3^3}=\frac{125}{27}=4\frac{17}{27}.\]

I jeszcze jedna bardzo ważna uwaga: Jeżeli chcemy podnieśc do potęgi cały ułamek, to musimy zapisać go w nawiasie, zas wykładnik potęgi poza nawiasem (tak jak to było przedstawione w przykładach powyżej). Jeżeli pominęlibyśmy nawiasy, np.:

    \[\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\]


Wtedy potęga odnosi się tylko do liczby przy której bezpośrednio stoi.

Ostatnim omawianym przez nas działaniem będzie dzielenie ułamków zwykłych. Jednak zanim podamy sposób jego obliczania musimy wprowadzić pewną ważną operację:

Odwrotność ułamka zwykłego

Mówimy, że odwrotnością ułamka zwykłego jest ułamek, którego licznik i mianownik zostały zamienione miejscami, np.:
Odwrotnością ułamka \frac{2}{3} jest ułamek \frac{3}{2},
Odwrotnością ułamka \frac{17}{9} jest ułamek \frac{9}{17},
Odwrotnością liczby 3\frac{1}{4} jest ułamek \frac{4}{13}, ponieważ liczba 3\frac{1}{4}=\frac{13}{4}, a jej odwrotnością jest właśnie \frac{4}{13},
Odwrotnością liczby 4 jest ułamek \frac{1}{4}, ponieważ liczbę 4 można zapisać jako ułamek \frac{4}{1}, a jego odwrotnością jest właśnie \frac{1}{4}.

Wiedząc już czym jest odwrotność ułamka, możemy wprowadzić regułę obliczania ilorazu (czyli wyniku dzielenia) ułamków zwykłych. Otóż:

“Dzielenie liczby przez ułamek, to mnożenie przez jej odwrotność”

Oznacza to, że wykonując dzielenie dowolnej liczby przez ułamek zwykły, musimy zamienić dzielenie na mnożenie, zaś ułamek przez który dzielimy, zamieniamy na jego odwrotność. Zasadę ilustrują poniższe przykłady:

    \[\frac{4}{5}: \frac{2}{3} = \frac{\not4^2}{5} \cdot \frac{3}{\not2_1} = \frac{6}{5}=1\frac{1}{5}\]


Zauważ, że w powyższym przykładzie po pierwsze zamieniliśmy dzielenie na mnożenie, po drugie ułamek \frac{2}{3} zamieniliśmy na \frac{3}{2} oraz możliwe było skrócenie licznika pierwszego ułamka z mianownikiem drugiego ułamka (przez 2). Na koniec wyłączyliśmy całość z ułamka niewłaściwego.

Kolejny przykład ilustruje sytuację, gdy chcemy podzielić ułamek zwykły przez liczbę mieszaną:

    \[\frac{3}{8} : 2\frac{1}{4}=\frac{3}{8} : \frac{9}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{72}\]


Oczywiście zanim wykonamy dzielenie należy wszystkie liczby mieszane zamienić na ułamki niewłaściwe. Następnie postepujemy tak jak we wcześniejszych przykładach. Ponadto zapewne zauważyłeś, że można było skrócić wymnażane przez siebie ułamki – znacznie ułatwiłoby to nam obliczenia oraz uprościło sam wynik:

    \[...=\frac{\not3^1}{\not8_2} \cdot \frac{\not4^1}{\not9_3} = \frac{1}{6}\]


W ramach wyjaśnienia:
Licznik 3 i mianownik 9 zostały skrócone ze soba przez 3, natomiast mianownik 8 i licznik 4 skrócono przez 4.

Na koniec przykład z dzieleniem ułamka przez liczbę naturalną:

    \[\frac{5}{7}: 15 = \frac{\not5^1}{7} \cdot \frac{1}{\not15_3}=\frac{1}{21}\]


Dzielenie przez liczbę 15 to mnożenie przez jej odwrotność, czyli \frac{1}{15}, ponadto licznik 5 został skrócony z mianownikiem 15 przez 5, stąd otrzymany wynik.

Tagi , , , , .Dodaj do zakładek Link.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.